Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, z. B. zum Öffnen eines Tresors, nicht von einer einzelnen Person gekannt wird, sondern nur gemeinsam von mehreren Personen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen: Sie geben ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem ein, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der gesuchte geheime Code stets dreistellig ist.

a) (1) Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeiter kennen jeweils die Koordinaten genau eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Der geheime Code ergibt sich aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(i)

Die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ werden in das System eingegeben.

Berechnen Sie den geheimen Code.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Einem vierten Mitarbeiter ist der Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis bekannt. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code auch dann nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(2) Das System verarbeitet nicht nur Koordinaten von Punkten einer Ebene, sondern auch andere Angaben zur Ebene, etwa die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H$.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Geschäftsführerin den geheimen Code schon gemeinsam mit irgendeinem der vier eingeweihten Mitarbeiter ermitteln kann.

(ii)

Berechnen Sie einen Normalenvektor von $H$.