Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und In… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

In Nordrhein-Westfalen fanden im Jahr 2018 etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen statt. Etwa 70 % dieser Prüfungen wurden in diesem Jahr bestanden.

Wenn eine Fahrschule $n$ praktische Prüfungen durchführt, gibt die Zufallsgröße $X$ im Folgenden jeweils an, wie viele dieser Prüfungen bestanden werden. Vereinfachend gilt die Annahme, dass $X$ immer binomialverteilt ist.

b)

Eine Fahrschulkette will im Jahr 2022 in Soest eine neue Filiale eröffnen. Im Jahr 2022 sollen dort auch die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat erheblich in die digitale Ausstattung dieses Standorts investiert und rechnet deshalb mit so hohen Ausbildungsstandards, dass durchschnittlich mehr als $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Hinweis darauf zu erhalten, ob die Qualität diese Erwartung erfüllt, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen beträgt höchstens $70\,\%$“ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

(1)

Erläutern Sie, bei welcher Art von Fehler die Zentrale durch die gewählte Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit gering halten will. [2 Punkte]

(2)

Die Zentrale rechnet damit, dass im Jahr 2022 $200$ Prüfungen stattfinden.

Bestimmen Sie die dazugehörige Entscheidungsregel. [4 Punkte]

(3)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zentrale die Ausbildungsqualität als nicht erwartungsgemäß einstuft, obwohl tatsächlich jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ bestanden wird. [3 Punkte]

c)

Eine weitere Fahrschulkette erstellt für ihren Standort Bielefeld eine Prognose für 2021. Mit den Sigma-Regeln ergab sich, dass die Zahl der bestandenen praktischen Fahrprüfungen mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\,\%$ im Intervall $[242{,}6; 267{,}4]$ liegt.

(1)

Bestimmen Sie den passenden Erwartungswert $\mu$ sowie die passende Standardabweichung $\sigma$. [2 Punkte]

(2)

Ermitteln Sie unter Verwendung der Werte aus (1) den Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ einer dazu passenden binomialverteilten Zufallsgröße. [3 Punkte]