Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 0$ beschrieben werden.

b)

Gegeben ist der Punkt der oberen Randlinie, an dem das mittlere Bauteil in das rechte übergeht.

Prüfen Sie, ob dieser Punkt genau in der Mitte der Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und ihrem rechten Endpunkt liegt.

[3 Punkte]

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\, a > 0$ beschrieben werden.

d)

In der Abbildung trägt die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils die Bezeichnung $s$.

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $a$, für die diese Länge mindestens $0{,}1\text{ dm}$ beträgt.

[4 Punkte]

e)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass beliebig große Werte von $a$ zur Darstellung der unteren Randlinie nicht geeignet sind.

[2 Punkte]

In der Planungsphase wurden für die obere Randlinie beim linken Bauteil eine Funktion $g_l$ und beim rechten Bauteil eine Funktion $g_r$ erwogen. Mit diesen Funktionen wäre die obere Randlinie ebenfalls achsensymmetrisch gewesen.

g)

Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, ob die folgenden Eigenschaften für die Funktionen $g_l$ und $g_r$ gelten.

[4 Punkte]

(1) $-g_l(x) = g_r(-x)$ für $-2 \le x \le -1$

(2) $g_l(x-1) = g_r(-x+1)$ für $-1 \le x \le 0$