Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

f(x)=10\cdot(x-1)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot e^{-3}\cdot x+50\cdot e^{-3}\, \ x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die in b) (1) angegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2\mid f(2))$ des Graphen von $f$. Zwischen der $y$-Achse, $g$ und dem Graphen von $f$ liegt eine Fläche (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Der Punkt $Q_u(u\mid f(u))$, $0 < u < 2$, liegt auf dem Graphen von $f$. Die Geraden durch $Q_u$, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, heißen $p_x$ und $p_y$. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ umschließen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

Die Funktion $f$ ist ein Mitglied der Schar $h_a$ mit

h_a(x)=10\cdot(x-a)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\, \ a \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $h_a$ hat genau einen Wendepunkt $W_a$.

a)

(2) Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen $f$ lokale Extrema besitzt.

b)

(1) Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3},\ x\in\mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ darstellt.

(2) Die Tangente aus b) (1) schneidet beide Koordinatenachsen; die Schnittpunkte begrenzen eine Strecke.

Berechnen Sie deren Länge.

c)

(2) Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks, wenn $Q_u$ dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse entspricht.

(3) Untersuchen Sie, um wie viel Prozent der Wert aus (2) höchstens gesteigert werden kann, wenn $Q_u(u\mid f(u))$ an einer anderen Stelle mit $0 < u < 2$ liegt.

%

d)

(1) Ermitteln Sie die Stelle, an der der Graph einen Wendepunkt hat.

[Hinweis: Die hinreichende Bedingung muss hier nicht nachgewiesen werden.]

(2) $t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a(a+2\mid h_a(a+2))$. Eine Gleichung für $t_a$ ist $$y = -10\cdot e^{-a-2}\cdot x + 10\cdot(a+4)\cdot e^{-a-2}$$Für $a \neq -4$ schließt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Leiten Sie einen Term für dessen Flächeninhalt $A_D$ her.

[Mögliche Lösung: $A_D(a) = 5\cdot(a+4)^2\cdot e^{-a-2}$]

(3) Ermitteln Sie sämtliche Werte von $a$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks $10\text{ FE}$ beträgt.

e)

(1) Die Gerade $l_a$ verläuft durch den Wendepunkt $W_a(a+2\mid h_a(a+2))$ und steht dort senkrecht auf der Tangente $t_a$.

Ermitteln Sie eine Gleichung für $l_a$.

[Mögliche Lösung: $y = \frac{e^{a+2}}{10}\cdot x + \frac{200 - (a+2)e^{2a+4}}{10\cdot e^{a+2}}$]

[Hinweis: Folgende Aussage dürfen Sie ohne Beweis verwenden: Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn für ihre Steigungen $m_1 \cdot m_2 = -1$ gilt.]

(2) Der Graph von $h_a$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $N_a$.

Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den $l_a$ durch $N_a$ geht.