Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an unterschiedliche Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Oft ist es sinnvoll, dass ein geheimer Code, z. B. zum Öffnen eines Tresors, nicht von einer einzelnen Person gekannt wird, sondern nur gemeinsam von mehreren Personen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können einige Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen: Sie geben ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem ein, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der gesuchte geheime Code stets dreistellig ist.

b)

In einem weiteren Unternehmen bilden die ersten drei Ziffern der ungerundeten Dezimaldarstellung des Volumens einer quadratischen Pyramide den geheimen Code. Die quadratische Grundfläche dieser Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 + 4x_3 = 9$. Die Geschäftsführerin kennt die Koordinaten der Pyramidenspitze $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$. Jeder Mitarbeitende kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten genau eines Eckpunkts der Grundfläche. Drei Mitarbeitende und die Geschäftsführerin geben ihre Teilgeheimnisse $(1|1|3)$, $(1|6|3)$, $(5|1|6)$ und $(1{,}5|3{,}5|6{,}5)$ ein.

c)

Bei einem weiteren Unternehmen besteht der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$. Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I(4|3|2)$ bzw. $J(8|6|-1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Basisendpunkte $\overline{IJ}$. Ein dritter eingeweihter Mitarbeiter kennt mit $K(6|5|1)$ die Koordinaten der Spitze des Dreiecks $IJK$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code. [Zur Kontrolle: Er lautet 707.] [2 Punkte]

(3)

Der Punkt $L(6|4|0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeitender zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln. Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines Punktes $P$ erhalten, der wie $K$ bzw. $L$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $P$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(i)

Beschreiben Sie, wo geeignete Punkte liegen. [2 Punkte]

(ii)

Aus Sicherheitsgründen soll $P$ weder mit $K$ noch mit $L$ übereinstimmen. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$. [Hinweis: Die Koordinaten von $P$ dürfen auch nicht ganzzahlig sein.] [3 Punkte]