Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0$, $c > 0$ beschrieben werden.

(2)

Bestimmen Sie die beiden Werte $b$ und $c$.

[Zur Kontrolle: $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$]