Aufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

(1) Zeigen Sie, dass die erste Ableitungsfunktion von $f$ durch die Gleichung $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ gegeben ist.

Lösung: $$f'(x)=4x^3-2kx=2x\cdot(2x^2-k)$$

(2) Ermitteln Sie den Wert von $k$ (Rechenweg).

Lösung: Die Tiefpunkte liegen nicht bei $x=0$. Für $x\neq 0$ ergibt sich: $$f'(x)=0 \Leftrightarrow 2x^2-k=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{k}{2}} \vee x=\sqrt{\frac{k}{2}}$$ Für $k>0$ gilt: $$f\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right)=\frac{k^2}{4}-k\cdot\frac{k}{2}=-\frac{k^2}{4}$$ und $$-\frac{k^2}{4}=-1 \Leftrightarrow k=2$$

Wert von $k$:

Lösung: 2