Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Die Funktion $f$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

f(x)=10\cdot(x-1)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\.

Den Graphen von $f$ zeigt Abbildung 1.

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot e^{-3}\cdot x+50\cdot e^{-3}\, \ x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3\mid f(3))$ des Graphen von $f$.

Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die in b) (1) angegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2\mid f(2))$ des Graphen von $f$. Zwischen der $y$-Achse, $g$ und dem Graphen von $f$ liegt eine Fläche (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Der Punkt $Q_u(u\mid f(u))$, $0 < u < 2$, liegt auf dem Graphen von $f$. Die Geraden durch $Q_u$, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, heißen $p_x$ und $p_y$. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ umschließen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

Die Funktion $f$ ist ein Mitglied der Schar $h_a$ mit

h_a(x)=10\cdot(x-a)\cdot e^{-x}\, \ x \in \mathbb{R}\, \ a \in \mathbb{R}\.

Der Graph von $h_a$ hat genau einen Wendepunkt $W_a$.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $f$ ausschließlich an der Stelle $x = 1$ eine Nullstelle besitzt.