Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und auf mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung nicht bei einer einzelnen Person liegt. Dies ist etwa bei einem geheimen Code, z. B. für das Öffnen eines Tresors, sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen lassen.

Ein Unternehmen kann ein derartiges Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei bestimmt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie diese in ein Computersystem eingibt. Das System löst mit den Eingaben geometrische Probleme.

Zur Vereinfachung soll gelten, dass der gesuchte geheime Code stets drei Ziffern hat.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt: $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

c) Eine andere Firma nutzt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$.

Drei eingeweihte Beschäftigte kennen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit $I(4|3|2)$, $J(8|6|-1)$ und $K(6|5|1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden.

$|\vec{IK}| =$ und $|\vec{JK}| =$

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code.

(3)

Eine weitere beschäftigte Person soll die Koordinaten eines Punktes $L$ erhalten, der sich von $K$ unterscheidet und wie $K$ mit $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich auf die zuvor beschriebene Weise der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $L$.

$L($ $|$ $|$ $)$