Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2021)

Aufgabenstellung

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit folgender Funktionsgleichung dargestellt:

f(x)=−516x4+5x3.f(x)=-\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass (12∣2160)(12 \mid 2160) ein Hochpunkt des Graphen von ff ist und dass die Tangente an den Graphen von ff in (0∣0)(0 \mid 0) parallel zur xx-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden gg, welche die beiden Wendepunkte des Graphen von ff verbindet.

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu gg parallele Gerade ein, die im Bereich 0≤x≤80 \leq x \leq 8 genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von ff besitzt.

a) (3)

Für jede reelle Zahl bb mit 0<b<160 < b < 16 legen die Punkte O(0∣0)O(0 \mid 0), B(b∣0)B(b \mid 0) und C(b∣f(b))C(b \mid f(b)) ein Dreieck OBCOBC fest.

Ermitteln Sie den Wert von bb, bei dem das Dreieck OBCOBC den größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist und dass die Tangente an den Graphen von f in (0|0) parallel zur x-Achse liegt.

Lösung: f′(x)=−54x3+15x2f'(x) = -\frac{5}{4}x^3 + 15x^2; f′(12)=0f'(12) = 0, f(12)=2160f(12) = 2160, Vorzeichenwechsel von ++ nach −- an der Stelle x=12x = 12; f′(0)=0f'(0) = 0.

a) (2) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, welche die beiden Wendepunkte des Graphen von f verbindet.

Lösung: y = 160x

a) (2) Zeichnen Sie in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0 <= x <= 8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat.

Lösung: Eine zur Geraden gg parallele Gerade (z. B. eine Tangente an den Graphen von ff im Bereich 0≤x≤80 \leq x \leq 8, wie etwa die Tangente an der Stelle x≈3,6x \approx 3{,}6), die mit dem Graphen von ff in diesem Intervall genau einen gemeinsamen Punkt hat.

a) (3) Ermitteln Sie den Wert von b, bei dem das Dreieck OBC den größten Flächeninhalt hat...

Lösung: 12,8

a) (3) ... und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

Lösung: 13422 / 13421,77

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