Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe b)

Der Punkt $P_u(u \mid f(u))$ liegt beliebig auf dem Graphen von $f$.

Zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ bildet $P_u$ das Dreieck $NF_uP_u$.

(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $NF_uP_u$ ein, das entsteht, wenn $P_u$ der Hochpunkt von $f$ ist.

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das Sie in b) (1) gezeichnet haben.

(3)

Untersuchen Sie, ob sich $P_u$ auf dem Graphen von $f$ so wählen lässt, dass das Dreieck $NF_uP_u$ einen Flächeninhalt von 2 FE besitzt.

Teilaufgabe c)

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$, $x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ den Graphen von $f$ tangiert.

(2)

Die in c) (1) gegebene Tangente schneidet beide Koordinatenachsen; diese Schnittpunkte bilden mit dem Ursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck.

Berechnen Sie dessen Umfang.

(3)

Im Intervall $[1; 5]$ schließen der Graph von $f$, die in c) (1) gegebene Tangente und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$.

Teilaufgabe d)

Die Gerade $y = x$ heißt „1. Winkelhalbierende“. Auf dem Graphen von $f$ gibt es genau einen Punkt $R$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ zur 1. Winkelhalbierenden parallel verläuft.

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t_R$.

[Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.]

(2)

Die Gerade $y = -x$ heißt „2. Winkelhalbierende“.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von $t_R$ mit der 2. Winkelhalbierenden.

(3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand zwischen der Tangente $t_R$ und der 1. Winkelhalbierenden.