Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und auf mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung nicht bei einer einzelnen Person liegt. Dies ist etwa bei einem geheimen Code, z. B. für das Öffnen eines Tresors, sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern sich nur durch das Zusammenwirken mehrerer Personen bestimmen lassen.

Ein Unternehmen kann ein derartiges Verfahren z. B. geometrisch umsetzen. Dabei bestimmt eine Gruppe von Mitarbeitenden, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code, indem sie diese in ein Computersystem eingibt. Das System löst mit den Eingaben geometrische Probleme.

Zur Vereinfachung soll gelten, dass der gesuchte geheime Code stets drei Ziffern hat.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt: $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ befinden sich in einer Ebene $H$. Je ein Punkt davon ist einem von drei eingeweihten Mitarbeitenden als Teilgeheimnis bekannt, und zwar in Form seiner Koordinaten. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(1)

Im System werden die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ eingegeben.

Berechnen Sie den geheimen Code.

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Einem vierten Mitarbeitenden wird der Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis anvertraut. Dieser Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code dennoch nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der weder mit $C$ noch mit $S$ übereinstimmt, sodass der geheime Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermittelt werden kann.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist für ein $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$. Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) und der Geraden $h_a$.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $S$ der Schnittpunkt von $g$ und $h_a$ ist.

(2)

Als Teilgeheimnisse sollen eingeweihte Mitarbeitende jeweils die Koordinaten eines Punktes der Geraden $h_4$ bekommen, der nicht $S$ ist.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der sich von $(-7|8|-1)$ und von $S$ unterscheidet und als Teilgeheimnis infrage kommt.