Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, sowohl über die Brücke als auch unter ihr hindurch zu fahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie hoch und wie lang die Brücke ist (vgl. Abbildung).

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.]

c)

Geben Sie an, was der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang bedeutet, und bestimmen Sie seinen Wert.

d)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die beim Überqueren der Brücke bewältigt werden muss.