Exame Nacional Matemática A 2023
Exames Nacionais de Matemática A 2023: 1.ª fase, 2.ª fase e Época especial. Com a resolução de cada exercício e correção imediata.
Matemática A · 2027
- 2026: Calculadora gráfica obrigatória em modo de exame
Calendário dos Exames Nacionais 2027
1.ª fase (2023)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Qual é o limite da sucessão de termo geral (1 + 1/n)^(2n)? - Exercício 2 · Sucessões e progressões
Determinar o comprimento do segmento de reta [AB] em centímetros, sabendo que a linha poligonal de 100 segmentos em progressão aritmética de razão 2 cm tem comprimento total de 104 metros. - Exercício 3 · Derivadas e estudo de funções
Estudar a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão a partir de f'(x) = -2x e^(1-x^2). - Exercício 4.1 - Continuidade · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averiguar se a função g definida por ramos é contínua em x = 1. - Exercício 4.2 - Equações logarítmicas · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Resolva, no intervalo [1, +∞[, a equação log3(g(x)) = x + log3 2. - Exercício 5 - Cálculo combinatório · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
5.1. Dez jovens vão deslocar-se em fila. A Ana, o Diogo e o Francisco são três desses jovens. De quantas formas diferentes se podem dispor na fila ficando juntos? (Opções: 483 840, 241 920, 60 480,… - Exercício 5.2 - Probabilidade condicionada · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Num grupo de jovens, 65% praticavam surf, 20% praticavam skate e não surf, e 4/5 dos que praticavam surf também praticavam skate. Sabendo que um jovem selecionado ao acaso não praticava skate,… - Exercício 6 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
6.1. Identificar a equação vetorial da reta OD a partir dos dados do prisma reto triangular. 6.2. Determinar as coordenadas do ponto C. - Exercício 7 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Determine o valor de cos(2α), sabendo que A(2, 0), o raio da circunferência é 2, P e Q têm a mesma abcissa, o ângulo orientado AOQ é α e o produto escalar OP · OQ = 3. - Exercício 8 · Modelação com a calculadora gráfica
Determinar, com recurso à calculadora gráfica, o instante a partir do qual, durante 3 segundos, o foguete percorre 25 metros, sabendo que a sua distância ao solo é dada por a(t) = 100[t + (10 - t)… - Exercício 9 · Derivadas e estudo de funções
Apresentar razões que justifiquem a falsidade de três proposições sobre assíntotas de f, limite de g(x) em x->1 e relação entre f''(x) e g''(x). - Exercício 10 · Números complexos
Qual dos valores seguintes é um argumento de w × z, sendo z e w os números complexos dados pelos afixos A e B na Figura 4? - Exercício 11 · Números complexos
Determine, em C, as soluções da equação z^2 = w, com w = (e^(i*5pi/6) - i^17) / i, na forma a + bi. - Exercício 12.1 - Derivadas · Derivadas e estudo de funções
Qual das expressões seguintes pode definir a função derivada de f, sendo f(x) = sen(2x) + x? - Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta r em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ]pi/6, pi/3[. - Exercício 13 · Derivadas e estudo de funções
Sejam a e b números reais, não nulos, tais que a reta de equação y = ax + b é tangente ao gráfico da função f definida por f(x) = ax^2 + bx. Determine as coordenadas do ponto de tangência.
2.ª fase (2023)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Identificar qual das expressões dadas pode ser o termo geral de uma sucessão (u_n) convergente para 0. - Exercício 2 · Sucessões e progressões
Mostrar que a soma dos perímetros dos n triângulos da sequência de triângulos equiláteros obtidos pela união dos pontos médios é estritamente menor que 6 unidades. - Exercício 3 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Determinar quantos números de seis algarismos formados com algarismos de 1 a 9 contêm exatamente dois cincos. - Exercício 4 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Determinar o valor de P((A ∪ B̄)|B) sabendo que A e B são equiprováveis, P(Ā) = 0,6 e P(A ∪ B̄) = 0,7, apresentando o resultado na forma de fração irredutível. - Exercício 5 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Determinar o valor de n conhecendo a probabilidade de dois pontos escolhidos ao acaso entre o centro V e os vértices de n hexágonos serem vértices do mesmo hexágono (5/49). - Exercício 6 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determinar os valores de a e de b para f(x) = a + e^(bx) sabendo que f(1) = 5 e f(2) = 7. - Exercício 7 · Limites e assíntotas
Qual é o valor de lim_{x->0} sen(2x)/x? - Exercício 8 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
8.1: Escolher a equação da superfície esférica de diâmetro [AG], onde A(4, 0, 0) e G(12, 13/2, 2). 8.2: Determinar analiticamente as coordenadas do vértice F do prisma hexagonal reto. - Exercício 9 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Determinar o comprimento do segmento OA sabendo que EB = OD = OA/3, OC = OA/4 e o produto escalar DC · DE = -7 num retângulo [OABC]. - Exercício 10 · Derivadas e estudo de funções
Justifique que em nenhum dos referenciais I, II e III pode estar representada parte do gráfico da função g em ]-∞, 0[ \ {-1}, sendo g uma função par, diferenciável, tal que lim_{x -> 1^-} g(x) = +∞,… - Exercício 11 · Números complexos
Identificar a qual dos quadrantes do plano complexo pertence o afixo de z₁² × z₂, sabendo que A e B são vértices de um triângulo equilátero centrado na origem, com A no semieixo imaginário positivo. - Exercício 12 · Números complexos
Considere o número complexo z = (2 i^11 e^(i alpha))/(-1 - sqrt(3) i), com alpha em [0, 2pi[. Sabendo que Re(z) = -Im(z) e que o afixo de z pertence ao 4.º quadrante, determine sem calculadora o… - Exercício 13 · Modelação com a calculadora gráfica
A prestação mensal é p(j) = 62.5j / (1 - (1 + j/1200)^(-120)). Se a taxa de juro duplicar, a prestação aumenta 120 euros. Determine, graficamente, a taxa de juro inicial em percentagem, arredondada… - Exercício 14.1 - Limites e assíntotas · Limites e assíntotas
Para a função f(x) = (ln x + 2x)/x em ]0, +inf[, determine uma equação da assíntota vertical e uma da assíntota horizontal ao gráfico de f, sem calculadora. - Exercício 14.2 - Derivadas e estudo de funções · Derivadas e estudo de funções
Estude a função f(x) = (ln x + 2x)/x quanto à monotonia e extremos relativos sem calculadora, apresentando os intervalos de monotonia. - Exercício 15 · Trigonometria e funções trigonométricas
Demonstrar que a área do triângulo isósceles [ABC], tangente à semicircunferência de raio 2 no ponto T, é dada por 8 / sen(2α). - Exercício 16 · Derivadas e estudo de funções
Mostrar que a área do triângulo [PQR], formado pelos pontos P e Q de mesma abcissa e pelo ponto R de intersecção das retas tangentes a f e g nesses pontos, é sempre igual a k.
Época especial (2023)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona? - Exercício 2 · Sucessões e progressões
Determine o comprimento total da linha obtida com esta composição geométrica de 25 semicircunferências cujos raios formam uma progressão geométrica. Apresente o resultado em quilómetros, arredondado… - Exercício 3 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Dados P(A ∪ B) = 0,8 e P(A ∩ B̄) = 0,5, determine o valor de P(B). - Exercício 4.1 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Numa caixa 3x3 com 9 compartimentos, o Rui coloca aleatoriamente 9 bombons (4 de amêndoa, 2 de avelã e 3 de noz). Determinar a probabilidade de uma das três linhas ficar preenchida com três bombons… - Exercício 4.2 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Aos 9 bombons de frutos secos juntam-se 22 de caramelo. Selecionam-se 3 sem reposição. Justificar, sem usar a fórmula, que P(C|(A ∩ B̄)) = 21/29, interpretando a probabilidade e explicando o… - Exercício 5 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Em referencial o.n. Oxyz, prisma reto [OABCDE] com base [OAB] e altura dada pela cota de D (5). 5.1. Equação do plano que passa em A(2√3, 6, 0) e é perpendicular a Ox. 5.2. Determinar o volume do… - Exercício 6 · Trigonometria e funções trigonométricas
Em referencial o.n. Oxy, circunferência trigonométrica com A(1,0), reta x=1 com B(1, tg α) e C(cos α, sen α). Sabendo que cos α = 1/3 e α no 1.º quadrante, determine a área do triângulo [ABC]. - Exercício 7.1 · Limites e assíntotas
Determine o valor de a para o qual existe o limite de f(x) quando x tende para 0. - Exercício 7.2 · Limites e assíntotas
Determine uma equação da assíntota oblíqua ao gráfico de f quando x tende para +infinito. - Exercício 8 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Para a > 1 e b > 1, tem-se log_a(b/a) = 2. Qual é o valor de log_a(sqrt(a^3) * b^2)? Escolha entre (A) 13/2, (B) 15/2, (C) 19/2, (D) 21/2. - Exercício 9.1 · Derivadas e estudo de funções
Estude a função g(x) = e^x cos x no domínio [0, pi[ quanto à monotonia e extremos relativos, determinando os intervalos de monotonia e os extremos. - Exercício 9.2 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de g cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo ]π/3, π/2[. - Exercício 10 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Resolva, em ℝ, a equação (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)) = 1/3. - Exercício 11 · Modelação com a calculadora gráfica
Determinar, com recurso à calculadora gráfica, os dois instantes t ∈ [0, 7] em que a distância d(t) do ponto P à reta r é igual ao diâmetro da circunferência. - Exercício 12 · Números complexos
Seja z um número complexo de argumento pi/7. Qual dos seguintes valores é um argumento de 2iz? - Exercício 13 · Números complexos
Considere z1 = -5i e z2 = -1 - sqrt(3)i. Determine o menor número natural n para o qual o número complexo w = (z1 + i^23) / (z2^n) é um imaginário puro. - Exercício 14 · Derivadas e estudo de funções
Considere h(x) = ax^2, com a != 0, e dois pontos A e B do seu gráfico. Mostre que o ponto de intersecção das retas tangentes ao gráfico de h nos pontos A e B pertence à reta vertical que contém o…
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Pratica um tema com exercícios dos exames de todos os anos, misturados.
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