Exame Nacional Matemática A 2024
Exames Nacionais de Matemática A 2024: 1.ª fase, 2.ª fase e Época especial. Com a resolução de cada exercício e correção imediata.
Matemática A · 2027
- 2026: Calculadora gráfica obrigatória em modo de exame
Calendário dos Exames Nacionais 2027
1.ª fase (2024)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Estatística: medidas de dados e regressão linear · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Derivadas e estudo de funções
Seja f uma função de domínio ℝ e contradomínio [-1, 3]. Qual é o contradomínio da função g definida por g(x) = f(x - 2) + 1? - Exercício 2 - Probabilidade condicionada · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
No primeiro dia das audições de uma orquestra participaram apenas candidatos flautistas e violinistas. 3/5 eram violinistas, o número de estrangeiros era igual ao de portugueses e 3/10 dos… - Exercício 2 - Cálculo combinatório · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Quatro violinistas, um violoncelista e três contrabaixistas sentam-se em duas filas de 4 lugares cada. Qual expressão representa o número de maneiras de os dispor, ficando os três contrabaixistas na… - Exercício 2 - Sucessões e progressões · Sucessões e progressões
A Constança praticou durante m dias, aumentando 10 minutos a cada dia. No 4.º dia praticou 60 minutos e no total praticou 2970 minutos. Determine o valor de m. - Exercício 3 - Geometria analítica no espaço · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
3.1. Escolha a equação cartesiana do plano ABF. 3.2. Determine a amplitude do ângulo convexo AOB em graus, arredondado às unidades. - Exercício 3 - Regra de Laplace · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Selecionam-se, ao acaso, dois vértices de cada uma das bases do prisma. Determine a probabilidade de os quatro vértices selecionados não pertencerem a uma mesma face lateral do prisma na forma de… - Exercício 4 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine o conjunto dos números reais que verificam a condição ln²(x) - ln(x) - 2 < 0 sem recorrer à calculadora. Apresente na forma de intervalo. - Exercício 5 - Derivadas e estudo de funções · Derivadas e estudo de funções
Estude, no intervalo ]1, +∞[, a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos. Apresente os intervalos de monotonia. - Exercício 5 - Continuidade · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Sabe-se que a função g é contínua em x = 1. Determine o valor de k. - Exercício 6 · Estatística: medidas de dados e regressão linear
Complete o texto com base no gráfico de frequências relativas das classificações de 20 alunos, selecionando a opção correta para I (número de alunos com classificação inferior a 13), II (mediana),… - Exercício 7 · Limites e assíntotas
Estude a função f(x) = (1 - cos x)/x^4, de domínio R \ {0}, quanto à existência de assíntotas verticais e escreva as respetivas equações. - Exercício 8 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Dada a função f com as propriedades descritas, justifique por que razão as proposições I (aplicabilidade do Teorema de Bolzano-Cauchy em ]1, 3[) e II (x = 2 é assíntota ao gráfico de 1/f) são falsas. - Exercício 9 · Trigonometria e funções trigonométricas
Mostre que a área da região sombreada composta pelo trapézio [OBCD] e pelo setor circular AOB de raio 2 e ângulo α é dada por 2α + 3 sen(2α). - Exercício 10 · Modelação com a calculadora gráfica
Determinar o valor de θ₁ recorrendo à calculadora gráfica, apresentando a equação e o gráfico representativo com os pontos relevantes assinalados. - Exercício 11 · Números complexos
Identificar a forma trigonométrica do número complexo w cujas raízes cúbicas têm afixos nos vértices de um triângulo equilátero centrado na origem, com o afixo A no semieixo imaginário negativo e… - Exercício 12 · Números complexos
Em C, conjunto dos números complexos, considere z = 4/(1+i) - 2/i^7. Determine o número complexo w na forma a + bi tal que z * w tenha módulo 5*sqrt(2) e afixo pertencente à bissetriz do terceiro… - Exercício 13 · Derivadas e estudo de funções
A reta y = mx + 1 é tangente ao gráfico de f(x) = 2x^2 + bx + 5 num ponto de abcissa positiva. Determine a abcissa desse ponto.
2.ª fase (2024)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Estatística: medidas de dados e regressão linear · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
1.1 Identificar a equação vetorial da reta que passa em A e é paralela a FC. 1.2 Determinar a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo. - Exercício 2 · Sucessões e progressões
De uma progressão aritmética (u_n), sabe-se que a soma do primeiro com o quinto termo é igual a 26 e que o nono termo é igual a 31. Averigue se 835 é termo da progressão (u_n). - Exercício 3 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determinar o valor de a para o qual a área do trapézio [ABCD] sob o gráfico de f(x) = log_{2a}(x) é igual a 4, sabendo que as abcissas de A e D são a, e as de B e C são a+4. - Exercício 4 · Estatística: medidas de dados e regressão linear
Completar os quatro espaços (I, II, III e IV) do texto selecionando a opção correta entre a), b) e c), relativos a dados de remuneração base média mensal (mediana dos homens, amplitude interquartil… - Exercício 5 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Determinar o valor do ângulo α sabendo que QR · QP = 27 num triângulo inscrito numa circunferência. - Exercício 6.1 · Limites e assíntotas
Identificar a igualdade de limite correta sabendo que a reta y = 3x - 5 é assíntota oblíqua ao gráfico de g quando x -> +infinito. - Exercício 6.2 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Determinar analiticamente o valor de k para que a função definida por ramos seja contínua em x = 0. - Exercício 7 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Calcular a probabilidade de um resultado em três lançamentos de um dado e determinar uma contagem de números com restrições. - Exercício 8 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos. Sabe-se que 0 < P(A) < 1 e 0 < P(B) < 1, P(A_barra ∩ B_barra) = 9 P(A ∩ B) e P(A_barra) = 3 P(B).… - Exercício 9 · Modelação com a calculadora gráfica
A mola oscila numa trajetória vertical com deslocamento y(t) = 7,5 e^(-1,5t) sen(8,6t + 1,6) para t em [0, 1]. Determine, com a calculadora, o primeiro instante em que a extremidade livre está meio… - Exercício 10 · Derivadas e estudo de funções
Seja f uma função de domínio R+, duas vezes diferenciável, com f' estritamente crescente em ]0, +inf[ e f'(1) = 2. Justificar que são falsas as proposições: I. O gráfico de f pode ter concavidade… - Exercício 11 · Derivadas e estudo de funções
Dada g'(x) = cos(2x) + 2 sen x em ]-pi/2, pi/2[: 11.1 Determinar a equação reduzida da reta s paralela à reta tangente a g em x=0 e que passa em (4,0); 11.2 Estudar a concavidade do gráfico de g e… - Exercício 12 · Números complexos
Ponto A afixo de z = -2i. Identificar o número complexo correspondente à rotação de centro na origem e ângulo pi/3 radianos. - Exercício 13 · Números complexos
Considere o número complexo w = (-1 - √3 i) / e^(i(-3π/4)). Sabendo que w é uma das raízes sextas de z, determine iz na forma algébrica sem recorrer à calculadora. - Exercício 14 · Derivadas e estudo de funções
Considere uma função f, de domínio R, par e diferenciável. Seja a um número real tal que f'(a) = f(a), com f(a) ≠ 0. Prove que f'(-a) × f'(a) = -[f(a)]^2.
Época especial (2024)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Estatística: medidas de dados e regressão linear · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Seja (u_n) a sucessão definida por u_1 = 3 e u_{n+1} = 2u_n + 2. Qual é o terceiro termo da sucessão? - Exercício 2.1 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Uma das linhas da construção do triângulo de Pascal contém 19 cartões. Qual é o número inscrito no quarto cartão dessa linha? - Exercício 2.2 · Sucessões e progressões
Calcule o valor de n, sabendo que, na construção da figura triangular constituída pelas n primeiras linhas do triângulo de Pascal, foram utilizados 3081 cartões. - Exercício 3.1 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averigue se a função f é contínua em x = 0 sem recorrer à calculadora. - Exercício 3.2 · Derivadas e estudo de funções
Estude, no intervalo ]0, 2pi], a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de x para os quais a… - Exercício 4.1 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas de um saco com bolas amarelas e verdes. Sejam A: «A primeira bola retirada é amarela» e B: «A segunda bola retirada é amarela». Sabendo que P(A… - Exercício 4.2 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Num saco com 200 bolas, 49% são verdes (98 verdes e 102 amarelas). Extraem-se 4 bolas. Determine a probabilidade de conter pelo menos três bolas verdes, arredondada às décimas. - Exercício 5 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Cone reto com base contida em x + 2y - 8 = 0. O segmento [AB] é diâmetro da base, com A no semieixo Ox e B no semieixo Oy. 5.1: Equação do plano paralelo à base passando por (1, -3, 5). 5.2:… - Exercício 6 · Estatística: medidas de dados e regressão linear
Completar os quatro espaços (I, II, III e IV) relativos aos vencimentos dos funcionários das áreas de comercial e de produção, calculando a mediana, comparando as médias e as dispersões relativas à… - Exercício 7 · Trigonometria e funções trigonométricas
Na Figura 3, estão representados o quadrilátero [ABCD] e a circunferência de centro O e raio 4. [AC] é um diâmetro, alpha é a inclinação da reta AC, B está no semieixo negativo Ox, D no positivo, e… - Exercício 8 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Seja a um número real maior do que 1, e f(x) = ax^3 + x - 2 de domínio R. Mostre, sem recorrer à calculadora, que a função f tem pelo menos um zero no intervalo ]0, 1[. - Exercício 9 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Resolva, em R, sem recorrer à calculadora, a equação 1/2 log_2(x) - log_2(sqrt(x+1)) = -1. - Exercício 10 · Modelação com a calculadora gráfica
m(t) = 1764 / (1 - 0,16e^(-0,42t)) para 0 <= t <= 15. No primeiro minuto, existe um instante a para o qual a massa diminui 5% em [a, 3a]. Determine, recorrendo à calculadora, a amplitude desse… - Exercício 11 · Derivadas e estudo de funções
Justifique que as proposições I (f'(0) > 0) e II (as retas r e s são perpendiculares) são falsas, sabendo que r é tangente ao gráfico de f na origem, s é assíntota quando x -> +infinito,… - Exercício 12 · Números complexos
Identificar o valor do produto z2 x z4 sabendo que os afixos de z1, z2, z3 e z4 são os vértices de um losango [ABCD] no plano complexo, com AB = 5, z1 e z3 reais com |z1 - z3| = 6 e z2 e z4… - Exercício 13 · Números complexos
Determine o valor de theta em ]0, pi/2[ para o número complexo z = 2*e^(i*theta) tal que z^2 + 2*z*conj(z) - 6 = 2*sqrt(3)*i. - Exercício 14 · Limites e assíntotas
Seja f uma função contínua, de domínio [0, +inf[, cujo gráfico admite uma assíntota horizontal. Determine uma equação da assíntota não vertical ao gráfico da função g, de domínio [0, +inf[, definida…
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