Exercícios de Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace

30 exercícios de Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace de Matemática A que saíram no Exame Nacional (2021-2026). Com resolução.

Exercício 1 · 1.ª fase 2026

O João comprou 8 livros distintos, sendo 4 policiais. Pretende ler os 8 livros, um após o outro, com os 4 policiais seguidos. Determinar de quantas maneiras o pode fazer.

Exercício 6 · 1.ª fase 2026

A Margarida tem cinco pares de sapatos de cores diferentes (azul, branco, cinzento, vermelho e preto) e dispõe de uma sapateira com dez compartimentos iguais dispostos em 5 linhas e 2 colunas (A a J). Vai guardar aleatoriamente os cinco pares de sapatos, um par por compartimento. Determine a probabilidade de o par de…

Exercício 13.(AE2018) · 1.ª fase 2026

A soma dos quatro últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 288 101. Determine o segundo elemento dessa linha, sabendo também que o quarto elemento da linha seguinte é 287 980.

Exercício 5 · 2.ª fase 2026

Considere todos os números naturais com cinco algarismos diferentes. Determine quantos destes números são múltiplos de 5 e maiores do que 50 000.

Exercício 6.1 · Época especial 2026

De quantas formas diferentes se podem sentar os nove alunos nas nove cadeiras, ficando a Susana, o Tomás e o Xavier juntos nas três cadeiras centrais e a Vânia numa das extremidades da fila?

Exercício 3 · 1.ª fase 2025

O produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento de uma dada linha do triângulo de Pascal é 625. Qual é o quinto elemento da linha anterior?

Exercício 6 · 1.ª fase 2025

Determine a probabilidade de o código atribuído a um cartão multibanco ter todos os algarismos diferentes, um dos algarismos ser o zero e a soma dos quatro algarismos ser um número ímpar.

Exercício 6 · 2.ª fase 2025

Numa turma de 25 alunos com 17 ou 18 anos, sabe-se que 64% são rapazes, 3/4 dos rapazes têm 17 anos e 1/3 das raparigas têm 18 anos. A Isabel e o José têm 17 anos. Calcular a probabilidade de um grupo de 6 alunos selecionados ao acaso ser constituído pela Isabel, pelo José, por outro aluno com 17 anos e por três…

Exercício 10.3 · 2.ª fase 2025

Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide [ABCDV] com seis cores distintas, cumprindo as condições dadas. Explique, no contexto descrito, cada parcela da expressão: ⁶C₄ × 2 × 4! + ⁶A₅.

Exercício 8.2 · Época especial 2025

Dos 25 alunos do 12.º ano presentes, 10 frequentam Matemática A. Selecionam-se três alunos ao acaso. Qual é a probabilidade de, pelo menos, um desses alunos frequentar Matemática A?

Exercício 2 - Cálculo combinatório · 1.ª fase 2024

Quatro violinistas, um violoncelista e três contrabaixistas sentam-se em duas filas de 4 lugares cada. Qual expressão representa o número de maneiras de os dispor, ficando os três contrabaixistas na mesma fila?

Exercício 3 - Regra de Laplace · 1.ª fase 2024

Selecionam-se, ao acaso, dois vértices de cada uma das bases do prisma. Determine a probabilidade de os quatro vértices selecionados não pertencerem a uma mesma face lateral do prisma na forma de fração irredutível.

Exercício 7 · 2.ª fase 2024

Calcular a probabilidade de um resultado em três lançamentos de um dado e determinar uma contagem de números com restrições.

Exercício 2.1 · Época especial 2024

Uma das linhas da construção do triângulo de Pascal contém 19 cartões. Qual é o número inscrito no quarto cartão dessa linha?

Exercício 4.2 · Época especial 2024

Num saco com 200 bolas, 49% são verdes (98 verdes e 102 amarelas). Extraem-se 4 bolas. Determine a probabilidade de conter pelo menos três bolas verdes, arredondada às décimas.

Exercício 5 - Cálculo combinatório · 1.ª fase 2023

5.1. Dez jovens vão deslocar-se em fila. A Ana, o Diogo e o Francisco são três desses jovens. De quantas formas diferentes se podem dispor na fila ficando juntos? (Opções: 483 840, 241 920, 60 480, 30 240) 5.3. No grupo há 70 jovens com 13 ou 14 anos, havendo mais com 14 do que com 13 anos. Selecionam-se dois jovens…

Exercício 3 · 2.ª fase 2023

Determinar quantos números de seis algarismos formados com algarismos de 1 a 9 contêm exatamente dois cincos.

Exercício 5 · 2.ª fase 2023

Determinar o valor de n conhecendo a probabilidade de dois pontos escolhidos ao acaso entre o centro V e os vértices de n hexágonos serem vértices do mesmo hexágono (5/49).

Exercício 4.1 · Época especial 2023

Numa caixa 3x3 com 9 compartimentos, o Rui coloca aleatoriamente 9 bombons (4 de amêndoa, 2 de avelã e 3 de noz). Determinar a probabilidade de uma das três linhas ficar preenchida com três bombons de amêndoa, na forma de fração irredutível.

Exercício 4 · 1.ª fase 2022

4. Explique, no contexto do jogo Semáforo com tabuleiro 3x4 e peças de três cores, cada parcela da expressão 3 * 12C2 + 3C2 * 12A2 para determinar o número de configurações coloridas com 2 peças.

Exercício 2 · 2.ª fase 2022

A soma de todos os elementos de uma linha do triângulo de Pascal é 16 384. Qual é o valor do quarto elemento da linha seguinte?

Exercício 4 · 2.ª fase 2022

Um saco contém 12 cartões (3 azuis, 2 brancos, 3 pretos e 4 vermelhos). Os cartões são retirados sucessivamente e dispostos em linha. Determine a probabilidade de os cartões azuis ficarem todos juntos, sob a forma de fração irredutível.

Exercício 3 · Época especial 2022

Determinar quantos números de cinco algarismos diferentes formados por 0 a 5 terminam em 5.

Exercício 4 · Época especial 2022

Uma empresa tem 60 funcionários em diferentes regimes de trabalho. Explicar a expressão (60C4 - 45C4) / 60C4 que dá a probabilidade de selecionar no máximo três funcionários que trabalham em regime presencial pelo menos dois dias por semana, enunciando a regra de Laplace e explicando os casos possíveis e favoráveis.

Exercício 4 · 1.ª fase 2021

Escreva uma expressão que dê o número de maneiras diferentes de distribuir os catorze elementos da comitiva (3 dirigentes, 1 treinador, 5 rapazes e 5 raparigas) por dois veículos (automóvel de 5 lugares e carrinha de 9 lugares), sabendo que os condutores são dois dos dirigentes e no automóvel vão dois jogadores de…

Exercício 5 · 1.ª fase 2021

Determinar a probabilidade de um grupo de 5 alunos escolhidos ao acaso de uma turma de 30 ser formado pelo André, pela Beatriz, por dois jovens de 17 anos e por outro de 15 ou 16 anos, apresentando o resultado arredondado às centésimas.

Exercício 3.1 - Cálculo combinatório · 2.ª fase 2021

Com 12 raquetes distintas (6 de badmínton e 6 de ténis), formam-se dois conjuntos de 6 raquetes cada. Qual é a probabilidade de cada conjunto ficar com 3 de badmínton e 3 de ténis?

Exercício 4 · 2.ª fase 2021

Com 5 pontos na reta r e n pontos na reta s paralela, é possível formar exatamente 175 triângulos. Determinar o valor de n.

Exercício 3 · Época especial 2021

Qual é o valor, arredondado às milésimas, da probabilidade de um ponto de coordenadas inteiras da região $0 \le x \le 10 \wedge 0 \le y \le 10$ pertencer à reta $y = x + 7$?

Exercício 4 · Época especial 2021

Determine de quantos modos diferentes pode a Fernanda repartir 5 livros diferentes e 7 canetas diferentes pelos dois netos, dando a um 3 livros e 3 canetas (e os restantes ao outro) ou 4 livros e 2 canetas a um neto (e os restantes ao outro).

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