Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2023

Tema: Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Do exame 1.ª fase (2023)

Enunciado

12. Seja ff a função, de domínio [0,π][0, \pi], definida por f(x)=sen⁡(2x)+xf(x) = \operatorname{sen}(2x) + x, e seja rr a reta de equação y=−x+2y = -x + 2.

12.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função ff intersecta a reta rr em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ]π6,π3[\left]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right[.

Enunciado: Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2023

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função ff intersecta a reta rr em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ]π6,π3[\left]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right[.

Resposta: Demonstração por aplicação do Teorema de Bolzano-Cauchy à função g(x)=f(x)−(−x+2)=sen(2x)+2x−2g(x) = f(x) - (-x + 2) = \text{sen}(2x) + 2x - 2.

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