Exercícios de Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos

25 exercícios de Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos de Matemática A que saíram no Exame Nacional (2021-2026). Com resolução.

Exercício 2 - Continuidade e teorema de Bolzano-Cauchy · 1.ª fase 2026

2.1: Averiguar se f é contínua em x = 3. 2.3: Mostrar que existe pelo menos um ponto do gráfico de f em ]-1, 0[ com ordenada simétrica da abcissa recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy.

Exercício 9.(AE2023) · 1.ª fase 2026

Considere a função f(x) = x^4 ln x - 1. Determine, utilizando o método da bissecção, uma aproximação do zero no intervalo ]1, 2[ com erro inferior a 0,1.

Exercício 7 (AE2023) · 2.ª fase 2026

Considere a função f(x) = x^2*e^x - 1/2. Determine, pelo método de Newton-Raphson, a aproximação do zero no intervalo ]-2, 0[ obtida na primeira iteração a partir de x_0 = -1, arredondada às milésimas.

Exercício 4.1 · Época especial 2026

Averigue se a função f é contínua em x = -2.

Exercício 11 (AE2018) · Época especial 2026

Sejam f e g funções de domínio R, com f contínua e ímpar, f(1) = -2 e g(x) = e^(2x) - f(x). Mostre, por Bolzano-Cauchy, que o gráfico de g intersecta y = 2 em pelo menos um ponto com abcissa em ]-1, 1[.

Exercício 11 (AE2023) · Época especial 2026

Dada f(x) = e^(2x) - sqrt(x+3) contínua em [-3, +inf[, determine pelo método da bissecção uma aproximação da solução de f(x) = 2 em ]0, 1[ com erro inferior a 0,1.

Exercício 2.1 - Continuidade · 1.ª fase 2025

Averigue se a função g é contínua em x = 0.

Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · 1.ª fase 2025

Mostrar, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico de f(x) intersecta a reta y = 3x + 4 em pelo menos um ponto no intervalo ]0, 1[.

Exercício 3.1 · 2.ª fase 2025

Averigue se a função f é contínua em x = 0.

Exercício 14 · 2.ª fase 2025

Seja a um número real positivo, e seja h uma função contínua de domínio [0, a] e contradomínio [0, a]. Provar que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função h que pertence à bissetriz do primeiro quadrante.

Exercício 3.3 · Época especial 2025

Mostre que a equação f(x) = g(0) é possível no intervalo ]-6, -5[.

Exercício 5 - Continuidade · 1.ª fase 2024

Sabe-se que a função g é contínua em x = 1. Determine o valor de k.

Exercício 8 · 1.ª fase 2024

Dada a função f com as propriedades descritas, justifique por que razão as proposições I (aplicabilidade do Teorema de Bolzano-Cauchy em ]1, 3[) e II (x = 2 é assíntota ao gráfico de 1/f) são falsas.

Exercício 6.2 · 2.ª fase 2024

Determinar analiticamente o valor de k para que a função definida por ramos seja contínua em x = 0.

Exercício 3.1 · Época especial 2024

Averigue se a função f é contínua em x = 0 sem recorrer à calculadora.

Exercício 8 · Época especial 2024

Seja a um número real maior do que 1, e f(x) = ax^3 + x - 2 de domínio R. Mostre, sem recorrer à calculadora, que a função f tem pelo menos um zero no intervalo ]0, 1[.

Exercício 4.1 - Continuidade · 1.ª fase 2023

Averiguar se a função g definida por ramos é contínua em x = 1.

Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · 1.ª fase 2023

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta r em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ]pi/6, pi/3[.

Exercício 9.2 · Época especial 2023

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de g cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo ]π/3, π/2[.

Exercício 8.1 - Continuidade · 1.ª fase 2022

Averigue se a função f é contínua em x = 2, sem recorrer à calculadora.

Exercício 8 · 2.ª fase 2022

Averigue analiticamente se a função f definida por ramos é contínua em x = 0.

Exercício 10 · Época especial 2022

Averiguar, sem recurso à calculadora, se a função f definida por ramos é contínua em x = 0, recorrendo ao limite notável da função exponencial.

Exercício 10.1 · 1.ª fase 2021

Item 10.1: Averigue, sem calculadora, se a função f definida por ramos é contínua em x = 1.

Exercício 11 · 1.ª fase 2021

Seja g a função, de domínio [π/2, 3π/2], definida por g(x) = x cos x + sen x. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gráfico da função g tal que a reta tangente ao gráfico da função nesse ponto tem declive -1/2.

Exercício 10.1 - Continuidade · Época especial 2021

Determine k sabendo que a função f definida por ramos é contínua em x = 1.

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