Exame Nacional Matemática A 2023 · 1.ª fase

Qual é o limite da sucessão de termo geral $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2n}$?

()

A Figura 1 representa uma linha poligonal simples que começou a ser construída a partir do segmento de reta $[AB]$. O segundo segmento de reta, com uma das extremidades em $B$, foi construído com mais $2\text{ cm}$ do que o primeiro, o terceiro segmento foi construído com mais $2\text{ cm}$ do que o segundo, e assim sucessivamente, tendo cada segmento de reta sempre mais $2\text{ cm}$ do que o anterior.

Continuando a construção da linha poligonal, do modo acima descrito, até ao $100.^{\circ}$ segmento de reta, obtém-se uma linha poligonal com o comprimento total de $104\text{ metros}$.

Determine o comprimento do segmento de reta $[AB]$.

Apresente o valor pedido em centímetros.

cm

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $f$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb{R}$, cuja derivada, $f'$, é dada por

$$f'(x) = -2x e^{1-x^2}$$

Estude a função $f$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para baixo;

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima;

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $f$, caso este(s) exista(m).

Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{4x - 4}{e^{x-1} - 1} & \text{se } x < 1 \\[2ex] 7 \times 3^{x-1} - 3 & \text{se } x \geq 1 \end{cases}$$

Resolva os itens 4.1. e 4.2. sem recorrer à calculadora.

4.1.

Averigue se a função $g$ é contínua em $x = 1$.

Considere a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{4x - 4}{e^{x-1} - 1} & \text{se } x < 1 \\[2ex] 7 \times 3^{x-1} - 3 & \text{se } x \geq 1 \end{cases}$$

Resolva os itens 4.1. e 4.2. sem recorrer à calculadora.

4.2.

Resolva, no intervalo $[1, +\infty[$, a equação $\log_3(g(x)) = x + \log_3 2$.

Um grupo de jovens inscreveu-se num campo de férias que oferece as modalidades de surf e de skate.

5.1.

Dez dos jovens do grupo vão deslocar-se em fila, pela praia, para uma aula de surf.

A Ana, o Diogo e o Francisco são três desses jovens.

De quantas formas diferentes se podem dispor os jovens na fila, ficando a Ana, o Diogo e o Francisco juntos?

()

5.3.

Considere que, no grupo, há 70 jovens com 13 ou 14 anos de idade, sendo o número de jovens com 14 anos maior do que o número de jovens com 13 anos.

Para realizar uma determinada tarefa, vão ser selecionados, aleatoriamente, dois desses jovens.

Sabe-se que a probabilidade de selecionar dois desses jovens com idades distintas é $\frac{16}{35}$.

Determine o número de jovens com 13 anos que há no grupo.

Um grupo de jovens inscreveu-se num campo de férias que oferece as modalidades de surf e de skate.

No ato da inscrição, todos os jovens do grupo responderam a um questionário sobre a prática das modalidades de surf e de skate.

De acordo com as respostas ao questionário:

$65\%$ praticavam surf;

$20\%$ praticavam skate e não praticavam surf;

quatro em cada cinco dos que praticavam surf também praticavam skate.

Selecionou-se, ao acaso, um jovem que, no questionário, tinha respondido que não praticava skate.

Determine a probabilidade de esse jovem, no questionário, também ter respondido que praticava surf.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

6. Na Figura 2, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma triangular reto $[OABCDE]$, de bases $[ABC]$ e $[OED]$.

Sabe-se que:

as bases do prisma estão inscritas em semicircunferências, respetivamente, de diâmetros $[AB]$ e $[OE]$;

os vértices $A$ e $E$ do prisma pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos $Ox$ e $Oy$;

$\overline{OE} = 12{,}5$;

a reta $AC$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (10, 0, 0) + k(0, 4, 3),\ k \in \mathbb{R}$.

6.1.

Qual das seguintes equações vetoriais define a reta $OD$?

()

6.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine as coordenadas do ponto $C$.

(,,)

7. Na Figura 3, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, uma circunferência de centro na origem e os pontos $A$, $P$ e $Q$, que pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(2, 0)$;

o ângulo orientado $AOQ$ tem amplitude $\alpha \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$;

os pontos $P$ e $Q$ têm a mesma abcissa;

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 3$.

Determine o valor de $\cos(2\alpha)$.

8. Uma empresa está a desenvolver um programa de testes para melhorar a propulsão de foguetes.

Os foguetes utilizados partem do solo e seguem uma trajetória vertical.

Em relação a um dos modelos de foguete utilizados, admita que, após o lançamento e até se esgotar o combustível, a sua distância ao solo, $a$, em metros, é dada, a cada instante $t$, em segundos, por

$$a(t) = 100\left[t + (10 - t)\ln\left(1 - \frac{t}{10}\right)\right] - 4{,}9t^2, \quad \text{com } t \in [0, 8]$$

Determine, utilizando a calculadora gráfica, o instante a partir do qual, durante $3$ segundos, esse foguete percorre $25$ metros.

Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

Equação:

Gráfico:

Instante $t$:

9. Sejam $f$ e $g$ funções duas vezes diferenciáveis, de domínios $\mathbb{R}$ e $]0, +\infty[$, respetivamente, e seja $r$ a reta de equação $y = 2x - 1$.

Sabe-se que:

a reta $r$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $1$;

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x + 1) = 0$;

nos respetivos domínios, o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima e o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função $f$ admite uma assíntota horizontal quando $x$ tende para $+\infty$.

II. $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 2$.

III. $f''(x) < g''(x), \quad \forall x \in ]0, +\infty[$.

Justifique que as proposições I, II e III são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

III.

10. Na Figura 4, estão representados, no plano complexo, os pontos $A$ e $B$.

O ponto $O$ é a origem do referencial.

O ponto $A$ é o afixo de um número complexo $z$ tal que $\text{Im}(z) = \text{Re}(z)$ e $\text{Re}(z) > 0$.

O ponto $B$ é o afixo de um número complexo $w$ tal que o ângulo convexo $AOB$ tem amplitude $\frac{5\pi}{8}$ radianos.

Qual dos valores seguintes é um argumento de $w \times z$?

()

11. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $w = \frac{e^{i\frac{5\pi}{6}} - i^{17}}{i}$.

Determine, em $\mathbb{C}$, as soluções da equação $z^2 = w$.

Apresente os valores pedidos na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$.

12. Seja $f$ a função, de domínio $[0, \pi]$, definida por $f(x) = \operatorname{sen}(2x) + x$, e seja $r$ a reta de equação $y = -x + 2$.

12.1. Qual das expressões seguintes pode definir a função derivada de $f$?

()

12. Seja $f$ a função, de domínio $[0, \pi]$, definida por $f(x) = \operatorname{sen}(2x) + x$, e seja $r$ a reta de equação $y = -x + 2$.

12.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função $f$ intersecta a reta $r$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $\left]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right[$.

Sejam $a$ e $b$ números reais, não nulos, tais que a reta de equação $y = ax + b$ é tangente ao gráfico da função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = ax^2 + bx$.

Determine as coordenadas do ponto de tangência.