Exercício 9 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2023

Tema: Derivadas e estudo de funções · Do exame 1.ª fase (2023)

Enunciado

9. Sejam $f$ e $g$ funções duas vezes diferenciáveis, de domínios $\mathbb{R}$ e $]0, +\infty[$ , respetivamente, e seja $r$ a reta de equação $y = 2x - 1$ .

Sabe-se que:

a reta $r$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $1$ ;

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x + 1) = 0$ ;

nos respetivos domínios, o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima e o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função $f$ admite uma assíntota horizontal quando $x$ tende para $+\infty$ .

II. $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 2$ .

III. $f''(x) < g''(x), \quad \forall x \in ]0, +\infty[$ .

Justifique que as proposições I, II e III são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

II.

III.

Enunciado: Exercício 9 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2023

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Justifique que a proposição I é falsa: O gráfico da função f admite uma assíntota horizontal quando x tende para +infinito.

Resposta: Dado que $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x + 1) = 0$ , a reta de equação $y = 2x - 1$ é assíntota oblíqua ao gráfico de $f$ em $+\infty$ , pelo que não existe assíntota horizontal ao gráfico de $f$ em $+\infty$ .

Justifique que a proposição II é falsa: lim_{x -> 1} g(x) = 2.

Resposta: Dado que a reta de equação $y = 2x - 1$ é tangente ao gráfico da função $g$ no ponto de abcissa $1$ , tem-se $g(1) = 2(1) - 1 = 1$ e, como $g$ é diferenciável e, por conseguinte, contínua, $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1) = 1 \neq 2$ .

Justifique que a proposição III é falsa: f''(x) < g''(x), para todo x em ]0, +infinito[.

Resposta: Dado que o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima e o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo, $f''(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ e $g''(x) \le 0, \forall x \in ]0, +\infty[$ , pelo que $f''(x) \ge g''(x), \forall x \in ]0, +\infty[$ .

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