Exame Nacional Matemática A 2023 · 2.ª fase

Seja $(u_n)$ uma sucessão tal que $\lim u_n = 0$.

Qual das expressões seguintes pode ser termo geral de $(u_n)$?

A

$\left(1-\frac{2}{n}\right)^n$

B

$-\frac{n^2+1}{n}$

C

$\frac{4n+3}{3n+4}$

D

$\frac{(-1)^n}{n}$

Considere um triângulo equilátero, $[ABC]$, com $\overline{AB} = 1$.

Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo; unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo. Continuando a proceder deste modo, obtém-se uma sequência de $n$ triângulos, sendo $n > 4$.

Na Figura 1, representam-se os primeiros quatro triângulos da sequência:

Mostre que a soma dos perímetros dos $n$ triângulos da sequência é menor do que $6$ unidades, qualquer que seja o valor de $n$.

Considere todos os números naturais de seis algarismos que é possível formar com os algarismos de $1$ a $9$.

Destes números, quantos têm exatamente dois cincos?

A

$98\;415$

B

$61\;440$

C

$36\;015$

D

$25\;200$

Seja $E$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset E$ e $B \subset E$).

Sabe-se que:

$A$ e $B$ são acontecimentos equiprováveis;

$P(\overline{A}) = 0{,}6$;

$P(A \cup \overline{B}) = 0{,}7$.

Determine o valor de $P((A \cup \overline{B})|B)$.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

5. Uma certa composição geométrica é formada por $n$ hexágonos regulares inscritos em circunferências concêntricas, contidas num mesmo plano, de centro no ponto $V$, sendo $n > 3$.

A Figura 2 é um esquema de parte dessa composição, e nela estão representados três dos $n$ hexágonos que formam a composição.

Considere o conjunto de pontos formado pelo ponto $V$ e pelos vértices de todos os hexágonos da composição.

Sabe-se que, selecionando, ao acaso, dois pontos desse conjunto, a probabilidade de estes serem vértices do mesmo hexágono é igual a $\frac{5}{49}$.

Determine o valor de $n$.

6. Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = a + e^{bx}$, em que $a$ e $b$ são números reais.

Sabendo que o gráfico da função $f$ contém os pontos de coordenadas $(1, 5)$ e $(2, 7)$, determine os valores de $a$ e de $b$.

7. Qual é o valor de $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}$?

Na Figura 3, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma hexagonal reto $[ABCDEFGHIJKL]$, de bases $[ABCDEF]$ e $[GHIJKL]$.

Sabe-se que:

as coordenadas dos vértices $A$ e $G$ do prisma são, respetivamente, $(4, 0, 0)$ e $\left(12, \frac{13}{2}, 2\right)$;

a reta $EL$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (-2, -8, 4) + k(3, 4, 0),\; k \in \mathbb{R}$.

8.1.

Qual das seguintes equações define a superfície esférica de diâmetro $[AG]$?

8.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine as coordenadas do vértice $F$ do prisma.

(,,)

Na Figura 4, está representado, em referencial o.n. $Oxy$, o retângulo $[OABC]$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

o ponto $D$ pertence ao segmento de reta $[OA]$;

o ponto $E$ pertence ao segmento de reta $[CB]$;

$\overline{EB} = \overline{OD} = \frac{\overline{OA}}{3}$;

$\overline{OC} = \frac{\overline{OA}}{4}$;

$\vec{DC} \cdot \vec{DE} = -7$.

Determine $\overline{OA}$.

10. Seja $g$ uma função par, diferenciável, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, tal que:

$\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty$;

$g(0) < 0$;

$g'(x) < 0,\ \forall x \in ]-\infty, -1[$.

Em cada um dos referenciais o.n. $Oxy$ seguintes, I, II e III, estão representadas parte do gráfico de uma função e a assíntota a esse gráfico, de equação $x = -1$.

Justifique que em nenhum dos referenciais, I, II e III, pode estar representada parte do gráfico da função $g$ em $]-\infty, 0[\setminus\{-1\}$.

Na sua resposta, apresente, para cada um dos referenciais, uma razão que justifique a impossibilidade de nele estar representada parte do gráfico da função $g$ em $]-\infty, 0[\setminus\{-1\}$.

11. Na Figura 5, está representado, no plano complexo, um triângulo equilátero, $[ABC]$, inscrito numa circunferência de centro na origem do referencial, $O$.

O ponto $A$ pertence ao semieixo imaginário positivo.

Os pontos $A$ e $B$ são os afixos dos números complexos $z_1$ e $z_2$, respetivamente.

A qual dos quadrantes do plano complexo pertence o afixo do número complexo $z_1^2 \times z_2$?

()

12. Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $$z = \frac{2\,i^{11}\,e^{i\alpha}}{-1 - \sqrt{3}\,i}\,, \quad \text{com } \alpha \in [0, 2\pi[\,.$$

Sabe-se que:

$\operatorname{Re}(z) = -\operatorname{Im}(z)$;

o afixo de $z$ pertence ao 4.º quadrante.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $\alpha$.

13. Para fazer obras de remodelação das instalações, uma pequena empresa pretende pedir um empréstimo a um banco, a pagar em prestações mensais iguais.

De acordo com a proposta do banco, o valor da prestação mensal a pagar, $p$, em euros, é dado, em função da taxa de juro anual aplicada, $j$, em percentagem, pela expressão $$p(j) = \frac{62,5j}{1 - \left(1 + \frac{j}{1200}\right)^{-120}}\,, \quad \text{com } j > 0$$

Sabe-se que, no caso de a taxa de juro anual inicial duplicar, a prestação mensal aumentará $120$ euros.

Determine, utilizando a calculadora gráfica, a taxa de juro anual inicial.

Apresente o resultado em percentagem, arredondado às milésimas.

Na sua resposta:

– apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

– represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

%

Considere a função $f$, de domínio $]0, +\infty[$, definida por

$$f(x) = \frac{\ln x + 2x}{x}$$

Resolva os itens 14.1. e 14.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva os itens 14.1. e 14.2. sem recorrer à calculadora.

14.1. O gráfico da função $f$ admite uma assíntota vertical e uma assíntota horizontal.

Determine uma equação de cada uma dessas assíntotas.

Considere a função $f$, de domínio $]0, +\infty[$, definida por

$$f(x) = \frac{\ln x + 2x}{x}$$

Resolva os itens 14.1. e 14.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva os itens 14.1. e 14.2. sem recorrer à calculadora.

14.2. Estude a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos e determine esses extremos, caso existam.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia da função $f$.

15. Na Figura 6, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, uma semicircunferência de raio $2$, e centro na origem do referencial, e o triângulo isósceles $[ABC]$.

Sabe-se que:

o vértice $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o vértice $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

o vértice $C$ pertence ao semieixo negativo $Ox$;

$\overline{AB} = \overline{BC}$;

o lado $[AB]$ é tangente à semicircunferência no ponto $T$;

$A\hat{O}T = \alpha$, $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$.

Prove que a área do triângulo $[ABC]$ é dada, em função de $\alpha$, por $$\frac{8}{\operatorname{sen}(2\alpha)}$$

16. Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $]0, +\infty[$, definidas por $f(x) = \frac{k}{x}$ e por $g(x) = -\frac{k}{x}$, com $k > 0$.

Considere ainda:

dois pontos $P$ e $Q$, com a mesma abcissa, pertencentes, respetivamente, ao gráfico da função $f$ e ao gráfico da função $g$;

a reta $s$, tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $P$;

a reta $t$, tangente ao gráfico da função $g$ no ponto $Q$;

o ponto $R$, ponto de intersecção das retas $s$ e $t$.

Mostre que, qualquer que seja a abcissa dos pontos $P$ e $Q$, a área do triângulo $[PQR]$ é igual a $k$.