Exame Nacional Matemática A 2021
Exames Nacionais de Matemática A 2021: 1.ª fase, 2.ª fase e Época especial. Com a resolução de cada exercício e correção imediata.
Matemática A · 2027
- 2026: Calculadora gráfica obrigatória em modo de exame
Calendário dos Exames Nacionais 2027
1.ª fase (2021)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
1.1. Qual das equações define uma reta perpendicular à reta EF e que passa no ponto E? 1.2. Determine a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto B e que passa no ponto D. - Exercício 2 · Trigonometria e funções trigonométricas
Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada pela expressão -9 sen α cos α. - Exercício 3 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Numa escola com 60% de raparigas e 15% de rapazes estrangeiros, escolhe-se um aluno e verifica-se que é rapaz. Qual é a probabilidade de ser português? - Exercício 4 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Escreva uma expressão que dê o número de maneiras diferentes de distribuir os catorze elementos da comitiva (3 dirigentes, 1 treinador, 5 rapazes e 5 raparigas) por dois veículos (automóvel de 5… - Exercício 5 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Determinar a probabilidade de um grupo de 5 alunos escolhidos ao acaso de uma turma de 30 ser formado pelo André, pela Beatriz, por dois jovens de 17 anos e por outro de 15 ou 16 anos, apresentando o… - Exercício 6 · Sucessões e progressões
Sendo (v_n) uma progressão geométrica com v_5 = 4 e v_8 = 108, qual é o valor de v_6? - Exercício 7 · Sucessões e progressões
Seja a sucessão definida por u_n = 2 + (-1)^(n+1)/n. Determine, sem recorrer à calculadora, quantos termos de ordem ímpar pertencem ao intervalo [83/41, 67/33]. - Exercício 8 · Números complexos
Em C, considere z1 = 2 e^(i pi/4) e z2 = 2 e^(i 3pi/28). Seja w = z1/z2. O afixo de w é vértice de um polígono regular centrado na origem e com outro vértice no semieixo real positivo. Qual é o… - Exercício 9 · Números complexos
Em C, considere z1 = -3 + 2i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 - i. Seja w = (z1 * z2) / z3. Mostre, sem calculadora, que |w| = sqrt(13) e Arg(w) pertence a ]-3pi/4, -pi/2[. - Exercício 10.1 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Item 10.1: Averigue, sem calculadora, se a função f definida por ramos é contínua em x = 1. - Exercício 10.2 · Derivadas e estudo de funções
Item 10.2: Estude, no intervalo ]0, 1[, a função f quanto à monotonia e extremos relativos, e determine esses extremos. - Exercício 11 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Seja g a função, de domínio [π/2, 3π/2], definida por g(x) = x cos x + sen x. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gráfico da função g tal… - Exercício 12 · Limites e assíntotas
Seja h a função de domínio R+, definida por h(x) = x^3 / (2x^2 - ln x). Estude a função h quanto à existência de assíntota oblíqua ao seu gráfico e escreva a sua equação reduzida. - Exercício 13 · Modelação com a calculadora gráfica
13. Depósito horizontal cilíndrico com base de diâmetro 1,8 m e altura do combustível modelada por a(t) = 1,8 - (0,216 + 0,0039t)^(2/3). 13.1. Diferença entre a altura no início do vazamento e quando… - Exercício 14 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação ln((1 - x)e^(x - 1)) = x. - Exercício 15 · Trigonometria e funções trigonométricas
Considere as funções f(x) = k*sen(2x) e g(x) = k*cos(x) de domínio [-pi/2, pi/2] com k > 0. A, B e C são os pontos de intersecção ordenados por abcissa. Sabendo que o triângulo [ABC] é retângulo em…
2.ª fase (2021)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Na Figura 1 está representado um trapézio [PQRS] num referencial o.n. Oxyz com vértices P(1,-1,2), Q(-2,1,1) e R(-5,5,-3). 1.1: Escolher a condição que define a superfície esférica de centro em R e… - Exercício 2 · Trigonometria e funções trigonométricas
Sabendo que sen(α - π/2) = -1/5 e que α pertence a ]0, π/2[, determinar sem calculadora o valor de tg(π - α) + 2 cos(-7π/2 + α) na forma (a√b)/c, com a ∈ ℤ, b ∈ ℕ e c ∈ ℕ. - Exercício 3.1 - Cálculo combinatório · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Com 12 raquetes distintas (6 de badmínton e 6 de ténis), formam-se dois conjuntos de 6 raquetes cada. Qual é a probabilidade de cada conjunto ficar com 3 de badmínton e 3 de ténis? - Exercício 3.2 - Probabilidade condicionada · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Determinar a probabilidade de escolher ao acaso um sócio que seja mulher e pratique ténis, com base nas condições dadas, apresentando o resultado em percentagem. - Exercício 4 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Com 5 pontos na reta r e n pontos na reta s paralela, é possível formar exatamente 175 triângulos. Determinar o valor de n. - Exercício 5 · Limites e assíntotas
Calcular o limite da sucessão composta g(v_n), em que v_n = 2 - 5/(n+3), através do gráfico da função g. - Exercício 6 · Sucessões e progressões
Seja (u_n) uma progressão aritmética. Sabe-se que u_6 + u_20 = -5 e u_19 = 4 * u_7. Determine a soma dos dezasseis primeiros termos desta progressão. - Exercício 7 · Números complexos
Em C, considere z = 2e^(i 3pi/5). Seja w tal que z * w = i. Qual dos valores seguintes é um argumento de w? Opções: (A) 19pi/10, (B) 2pi/5, (C) -2pi/5, (D) -19pi/10. - Exercício 8 · Números complexos
Em C, a condição (1 + 2i)z + (1 - 2i)z̄ + 10 = 0 define uma reta. Determine o número complexo com afixo nessa reta que tem menor módulo, na forma a + bi. - Exercício 9.1 - Limites e assíntotas · Limites e assíntotas
Estude a função f quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico quando x -> -infinito e quando x -> +infinito e, caso existam, escreva as respetivas equações. - Exercício 9.2 - Derivadas e estudo de funções · Derivadas e estudo de funções
Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa -2. - Exercício 10 · Derivadas e estudo de funções
Estudar a função h(x) = sen x + cos^2 x quanto à monotonia e existência de extremos relativos no domínio [0, pi/2[, apresentando os intervalos de monotonia. - Exercício 11 · Modelação com a calculadora gráfica
11.1. Temperatura T(t) = 20 + 100e^(-kt). Determinar k sabendo que T(t_1) = 30 ºC. 11.2. Para k = 0,04, a taxa média de variação nos primeiros t_2 minutos é -2,4. Determinar t_2 recorrendo à… - Exercício 12 · Limites e assíntotas
Dada a função g(x) definida por ramos para x < 0 e x > 0, sabendo que existe lim_{x -> 0} g(x), determine o valor de k calculando os limites laterais com recurso a limites notáveis. - Exercício 13 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação x ln(1-x) - ln(1-x) = (1-x) ln(3-2x) - Exercício 14 · Trigonometria e funções trigonométricas
Considerando a circunferência trigonométrica, o triângulo [AOB] com área k (0 < k < 1/2) e o ângulo BOC igual ao dobro de AOB, mostre que a ordenada de C é 6k - 32k^3.
Época especial (2021)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Problema de geometria no espaço envolvendo uma pirâmide regular de base quadrada [ABCD] contida em xOz e vértice E(-2, 6, 2). 1.1: Equação do plano perpendicular a BE passando por (1, 0, 1). 1.2:… - Exercício 2 · Trigonometria e funções trigonométricas
Mostrar que a soma dos comprimentos dos segmentos BS e TA em função de d e r é dada por r(2 - sen(d/r) - cos(d/r)). - Exercício 3 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Qual é o valor, arredondado às milésimas, da probabilidade de um ponto de coordenadas inteiras da região $0 \le x \le 10 \wedge 0 \le y \le 10$ pertencer à reta $y = x + 7$? - Exercício 4 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Determine de quantos modos diferentes pode a Fernanda repartir 5 livros diferentes e 7 canetas diferentes pelos dois netos, dando a um 3 livros e 3 canetas (e os restantes ao outro) ou 4 livros e 2… - Exercício 5 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Mostre que $P(\overline{A} \cap \overline{B}) + 2P(A) = 1$, sabendo que $P(A) \neq 0$, $P(B) = \frac{3}{2}P(A)$ e $P(B|A) = \frac{1}{2}$. - Exercício 6 · Limites e assíntotas
Considere a sucessão (u_n) definida por u_n = 2n^2 - n. Em relação a uma certa função f, de domínio R^+, sabe-se que lim f(1/u_n) = +inf. Identifique qual das opções representa parte do gráfico da… - Exercício 7 · Sucessões e progressões
Seja (u_n) a sucessão definida por u_n = 2n + 1. Determine, sem recorrer à calculadora, a soma dos primeiros duzentos termos de ordem ímpar da sucessão (u_n). - Exercício 8 · Números complexos
Em C, considere z1 = e^(i*theta) e z2 = 2*e^(i*(theta + pi)) com theta em ]0, pi/2[. A qual dos quadrantes pertence o afixo de z1 + z2? - Exercício 9 · Números complexos
Em C, sejam z1 = 1/2 e^(i*pi/4) e z2 = 2i. Determine sem calculadora os números complexos z que satisfazem i*z^2 + z1^2 * (conj(z2))^3 - 2 = 0 na forma trigonométrica. - Exercício 10.1 - Continuidade · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Determine k sabendo que a função f definida por ramos é contínua em x = 1. - Exercício 10.2 - Derivadas e estudo de funções · Derivadas e estudo de funções
Estude em ]-inf, 1[ a função f quanto à monotonia e existência de extremos relativos, determinando os intervalos de monotonia e os extremos. - Exercício 11 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Seja g a função, de domínio ]0, pi/2[, definida por g(x) = log_2(1 - cos x) + log_2(1 + cos x) + 2 log_2(2 cos x). Mostre que g(x) = 2 log_2(sen(2x)). - Exercício 12 · Modelação com a calculadora gráfica
12. Modelo de crescimento bacteriano N(t) = N0 * e^(1,08t - 0,3t^2). 12.1. Limite quando t tende para +infinito. 12.2. Com N0 = 1,63, determinar o instante t1 em que há mais 0,5 milhares de bactérias… - Exercício 13 · Limites e assíntotas
Estude, sem recorrer à calculadora, a função f quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico e, caso existam, escreva as suas equações. - Exercício 14 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que verificam a condição e^(-x)(4 + e^(2x)) >= 5 e -2 <= x <= 2, apresentando na forma de intervalo ou reunião de intervalos. - Exercício 15 · Derivadas e estudo de funções
Determinar as abcissas dos pontos A e B de tangência de uma reta não horizontal tangente simultaneamente aos gráficos de f(x) = 2x^2 e g(x) = -(x-1)^2.
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