Exercício 7 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2023

7. Na Figura 3, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, uma circunferência de centro na origem e os pontos $A$, $P$ e $Q$, que pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(2, 0)$;

o ângulo orientado $AOQ$ tem amplitude $\alpha \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$;

os pontos $P$ e $Q$ têm a mesma abcissa;

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 3$.

Determine o valor de $\cos(2\alpha)$.