Exame Nacional Matemática A 2025
Exames Nacionais de Matemática A 2025: 1.ª fase, 2.ª fase e Época especial. Com a resolução de cada exercício e correção imediata.
Matemática A · 2027
- 2026: Calculadora gráfica obrigatória em modo de exame
Calendário dos Exames Nacionais 2027
1.ª fase (2025)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Estatística: medidas de dados e regressão linear · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Qual é o limite da sucessão de termo geral u_n = (1 + 1/n)^(3n)? - Exercício 2.1 - Continuidade · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averigue se a função g é contínua em x = 0. - Exercício 2.2 - Derivadas e estudo de funções · Derivadas e estudo de funções
Estude, no intervalo ]0, π], a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, apresentando os intervalos de monotonia e os valores de x para os quais tem extremos relativos. - Exercício 3 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
O produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento de uma dada linha do triângulo de Pascal é 625. Qual é o quinto elemento da linha anterior? - Exercício 4 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Uma academia de dança oferece as modalidades de ballet clássico e dança contemporânea. Sabe-se que 60% dos alunos estão inscritos em ballet clássico, 25% em dança contemporânea e não em ballet… - Exercício 5 · Estatística: medidas de dados e regressão linear
Complete o texto selecionando a opção correta para cada espaço (I, II, III e IV) relativo à mediana e média dos diâmetros biparietais, amplitude dos perímetros cefálicos, coeficiente de correlação… - Exercício 6 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Determine a probabilidade de o código atribuído a um cartão multibanco ter todos os algarismos diferentes, um dos algarismos ser o zero e a soma dos quatro algarismos ser um número ímpar. - Exercício 7 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato do comprimento do arco AB dado o raio da circunferência centrada em C e o produto escalar AB . AC = 6. - Exercício 8 · Números complexos
Qual dos pontos (A, B, C, D) representados na Figura 2 pode ser o afixo do número complexo i*w^3 sabendo que W está no 1.º quadrante com Im(w)=Re(w)? - Exercício 9 · Números complexos
Determine o valor de k pertencente a R para o qual o afixo de w = -sqrt(2)*k*e^(i*3pi/4) é equidistante dos afixos de z1 = 2*i^19 e z2 = (-3+i)/(1+i). - Exercício 10 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
10.1. Escolha a reta perpendicular a DF que passa por A. 10.2. Determine as coordenadas do ponto C pertencente ao plano mediador de [AB]. - Exercício 11 · Modelação com a calculadora gráfica
11. Resolução gráfica de G(x + 4) = 0,5 * G(x) com G(x) = 0,9 * e^(-0,6x) * (x + 0,5)^3. Determinar o número de dias correspondentes. - Exercício 12.1 - Funções exponenciais · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determinar a área do trapézio [OCAB] sabendo que A é o ponto de intersecção do gráfico de f(x) com y = 5, B é a intersecção com o eixo Oy e C tem a mesma abcissa que A no eixo Ox. Apresentar na forma… - Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Mostrar, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico de f(x) intersecta a reta y = 3x + 4 em pelo menos um ponto no intervalo ]0, 1[. - Exercício 13 · Derivadas e estudo de funções
Justificar a falsidade de duas proposições sobre uma função f diferenciável em R\{1}, crescente em ]-inf, 1[ e em ]1, +inf[, com assíntota vertical x = 1: I. f é contínua em x = 1; II. a reta y = -x… - Exercício 14 · Sucessões e progressões
Determine o perímetro da 20.ª composição geométrica de uma sucessão construída retirando recursivamente semicírculos de raios decrescentes a partir de um semicírculo de raio 1. Apresente o resultado… - Exercício 15 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Mostre que, sendo f(x) = ax^3 + bx + c (a, b, c não nulos) e r uma reta que intersecta o gráfico de f no ponto de abcissa zero, se r intersectar o gráfico de f noutros dois pontos distintos, esses…
2.ª fase (2025)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Estatística: medidas de dados e regressão linear · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Qual é o limite da sucessão de termo geral u_n = (2n + 4)/(3n + 5)? - Exercício 2 · Estatística: medidas de dados e regressão linear
Completar o texto com opções relativas a mediana, variação percentual, desvio padrão e previsão da produção de pera e maçã com base na tabela de dados de 2019 a 2023. - Exercício 3.1 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averigue se a função f é contínua em x = 0. - Exercício 3.2 · Limites e assíntotas
Mostre que a reta de equação y = x - 1 é assíntota ao gráfico da função f quando x tende para +infinito. - Exercício 4 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine os números reais que são solução da equação 1/2 e^x ln(4-x)^2 - 5 ln(4-x) = (5 - e^x) ln(7-2x). - Exercício 5 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Seja E o espaço amostral e A e B dois acontecimentos. Sabe-se que P(A ∩ B̄) = 0,5 e P(Ā ∩ B̄) = 0,3. Qual é o valor de P(B)? - Exercício 6 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Numa turma de 25 alunos com 17 ou 18 anos, sabe-se que 64% são rapazes, 3/4 dos rapazes têm 17 anos e 1/3 das raparigas têm 18 anos. A Isabel e o José têm 17 anos. Calcular a probabilidade de um… - Exercício 7 · Números complexos
Identificar um argumento, em radianos, do número complexo w sabendo que OZ = OW, arg(z) = 2π/15 e M (ponto médio de [WZ]) pertence à bissetriz do 1.º quadrante. - Exercício 8 · Números complexos
Determinar o número complexo z na forma trigonométrica sabendo que z = (5a*i^15)/(1-2i) + sqrt(2)*e^(i*7pi/4) com a em R e Im(z) - Re(z) = 1. - Exercício 9 · Trigonometria e funções trigonométricas
Mostrar que a área do triângulo [ABC] é dada em função da inclinação α da reta AB por (2 sen α - sen(2α))/4. - Exercício 10.1 e 10.2 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
10.1. Determinar o produto escalar entre os vetores AB e AC, sabendo que a base [ABCD] é um quadrado de lado √6. 10.2. Determinar as coordenadas do vértice V da pirâmide regular de base quadrada… - Exercício 10.3 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide [ABCDV] com seis cores distintas, cumprindo as condições dadas. Explique, no contexto descrito, cada parcela da expressão: ⁶C₄ × 2 × 4! + ⁶A₅. - Exercício 11.1 · Derivadas e estudo de funções
Estudar a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão no intervalo ]0, π/2[. - Exercício 11.2 · Derivadas e estudo de funções
Determinar a abcissa do ponto A recorrendo à reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0, à reta perpendicular s e à área do triângulo [OAB] que é igual a 12. - Exercício 12 · Modelação com a calculadora gráfica
Determinar graficamente na calculadora o preço unitário das bicicletas Ciclatour para o qual o valor total de vendas é igual a 4000 centenas de euros. - Exercício 13 · Sucessões e progressões
Determinar a área da 50.ª composição na construção geométrica do Tapete de Sierpiński, sabendo que a área inicial é 9 e que em cada etapa se remove 1/9 de cada quadrado. Apresentar o resultado… - Exercício 14 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Seja a um número real positivo, e seja h uma função contínua de domínio [0, a] e contradomínio [0, a]. Provar que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função h que pertence à bissetriz do…
Época especial (2025)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Estatística: medidas de dados e regressão linear · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
Identificar qual das opções dadas pode ser termo geral de uma sucessão (u_n) com limite 0. - Exercício 2 · Sucessões e progressões
Dada a progressão aritmética de termos positivos tal que a_10 - a_4 = 3 e a_4 * a_10 = 40, determine a ordem n do termo 173. - Exercício 3.1 · Derivadas e estudo de funções
Estude a função f quanto à monotonia e extremos relativos, apresentando os intervalos de monotonia e o valor de x onde ocorre o extremo relativo. - Exercício 3.2 · Limites e assíntotas
Estude a função g quanto à existência de assíntotas verticais e horizontais ao seu gráfico, escrevendo as respetivas equações. - Exercício 3.3 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Mostre que a equação f(x) = g(0) é possível no intervalo ]-6, -5[. - Exercício 4 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Na Figura 1, estão representados o retângulo [OABC] e os segmentos [CD] e [DB]. Sabe-se que OC = 8, OA = 15, vec(DC) . vec(DB) = 50 e OD < DA. Determine as coordenadas do ponto D. - Exercício 5 · Estatística: medidas de dados e regressão linear
A Maria tem um plano de treinos de corrida. No diagrama de dispersão apresentam-se os valores registados em 7 treinos (distância x e energia y): (5; 340), (6,5; 450), (7; 478), (7,7; 515), (8; 550),… - Exercício 6 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
6. Na Figura 3, está representado o prisma reto de bases quadradas [ABCDEFGH]. A base [ABCD] está contida no plano x = 3; F(-9, 0, 2); plano CDE tem equação 5y + 2z - 62 = 0. 6.1. Identificar em qual… - Exercício 7 · Modelação com a calculadora gráfica
Determinar, recorrendo à calculadora gráfica, durante quanto tempo a concentração de paracetamol C(t) = 125(e^(-0,2t) - e^(-t)) é superior a 15 mg/L, apresentando o resultado em horas e minutos… - Exercício 8.1 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Seleciona-se, ao acaso, um aluno presente na assembleia. Sabe-se que a probabilidade de esse aluno não ser do 12.º ano ou não frequentar a disciplina de Matemática A é igual a 9/11. Determine o… - Exercício 8.2 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Dos 25 alunos do 12.º ano presentes, 10 frequentam Matemática A. Selecionam-se três alunos ao acaso. Qual é a probabilidade de, pelo menos, um desses alunos frequentar Matemática A? - Exercício 9 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Sabe-se que o número de alunos de Filosofia é o dobro dos de Economia A e que os alunos que frequentam pelo menos uma das disciplinas é o triplo dos que frequentam as duas. Determine P(não frequentar… - Exercício 10 · Trigonometria e funções trigonométricas
Considere as funções f(x) = sen^3(x) e g(x) = sen(x)cos^2(x) no domínio ]0, pi[. Determine analiticamente as coordenadas dos pontos de intersecção dos gráficos de f e g. - Exercício 11 · Derivadas e estudo de funções
Considere uma função f duas vezes diferenciável com f''(x) >= 0 sse x >= 3/4, com dois zeros em 3/4 e 3, e retas tangentes r e s nos pontos de abcissas -2 e -1. Justifique que são falsas: I. O… - Exercício 12.1 · Números complexos
Qual das expressões seguintes é um argumento de (i^23 * w^2) / overline(w), sabendo que arg(w) = theta? - Exercício 12.2 · Números complexos
Resolva a equação (1-i)z^3 - 8sqrt(2)e^(i pi/4) = 0 e determine w na forma a + bi, sabendo que w é solução e o argumento de w pertence a ]pi/2, pi[. - Exercício 13 · Derivadas e estudo de funções
Seja f uma função positiva e duas vezes diferenciável com concavidade voltada para cima e f'(x) != 0. Estude o sentido das concavidades do gráfico de g(x) = [f(x)]^2.
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Pratica um tema com exercícios dos exames de todos os anos, misturados.
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