Exercício 9.2 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2023

Tema: Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Do exame Época especial (2023)

Enunciado

Considere a função gg, de domínio [0,π[[0, \pi[, definida por g(x)=excos⁡xg(x) = e^x \cos x.

9.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de gg cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo ]π3,π2[\left]\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right[.

Enunciado: Exercício 9.2 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2023

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de g cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo ]π/3, π/2[.

Resposta: Equacionar o problema: g(x)=xg(x) = x. Considerar a função f(x)=g(x)−xf(x) = g(x) - x. Referir que ff é contínua em [π3,π2]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]. Determinar f(π3)>0f\left(\frac{\pi}{3}\right) > 0 e f(π2)<0f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0. Concluir pelo teorema de Bolzano-Cauchy a existência de pelo menos um zero de ff, logo g(c)=cg(c)=c em ]π3,π2[\left]\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right[.

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