Exercício 2 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2023

Considere um triângulo equilátero, $[ABC]$, com $\overline{AB} = 1$.

Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo; unindo os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo. Continuando a proceder deste modo, obtém-se uma sequência de $n$ triângulos, sendo $n > 4$.

Na Figura 1, representam-se os primeiros quatro triângulos da sequência:

Mostre que a soma dos perímetros dos $n$ triângulos da sequência é menor do que $6$ unidades, qualquer que seja o valor de $n$.