Exercícios de Derivadas e estudo de funções

44 exercícios de Derivadas e estudo de funções de Matemática A que saíram no Exame Nacional (2021-2026). Com resolução passo a passo e correção imediata.

Exercício 2 - Derivadas e estudo de funções · 1.ª fase 2026

2.2: Estudar no intervalo ]-inf, 3[ a função f quanto à monotonia e extremos relativos, apresentando intervalos de monotonia e valores de x com extremos relativos.

Exercício 14 · 1.ª fase 2026

Seja f uma função polinomial de grau cinco e f' a sua derivada. Conhecendo o gráfico e os zeros de f' (-1, 0 e 3), justifique que são falsas as proposições: I. A função f admite três extremos; II. O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo no intervalo ]3, +∞[.

Exercício 2 · 2.ª fase 2026

2. Seja f uma função real, de domínio R+, cuja derivada é f'(x) = (1 + 2 ln x)/x. Sem calculadora: 2.1. Estude f quanto ao sentido das concavidades e pontos de inflexão. 2.2. Determine a área do triângulo [AOB] formado pela origem O, o ponto A(e, 2) onde a reta r é tangente a f, e o ponto B de interseção com Oy da…

Exercício 10 · 2.ª fase 2026

Considere f contínua e diferenciável em R, com f(0) = 2, f(1)*f(2) < 0 e f'(x) < 0 para todo x em R. Justifique que são falsas as proposições I: f(1) > 2 e II: O domínio de 1/f é R.

Exercício 2 · Época especial 2026

Estude a função h(x) = 1 + (ln x)/x^2, de domínio R^+, quanto à monotonia e extremos relativos, apresentando os intervalos de monotonia.

Exercício 4.3 · Época especial 2026

Considere a reta t tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa -2 + ln(a), com a ∈ ]1, +∞[. Sabendo que a reta t é paralela ao eixo Ox, determine o valor de a.

Exercício 10 · Época especial 2026

Considere 0 < a < b < c e f de domínio [0, c] duas vezes diferenciável, onde a é o único zero de f' e f' é estritamente decrescente em [0, b] e estritamente crescente em [b, c]. Justifique que são falsas: I. O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em [b, c]; II. f é estritamente decrescente em [0, a].

Exercício 2.2 - Derivadas e estudo de funções · 1.ª fase 2025

Estude, no intervalo ]0, π], a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, apresentando os intervalos de monotonia e os valores de x para os quais tem extremos relativos.

Exercício 13 · 1.ª fase 2025

Justificar a falsidade de duas proposições sobre uma função f diferenciável em R\{1}, crescente em ]-inf, 1[ e em ]1, +inf[, com assíntota vertical x = 1: I. f é contínua em x = 1; II. a reta y = -x + 2 é tangente ao gráfico de f num ponto de abcissa diferente de 1.

Exercício 11.1 · 2.ª fase 2025

Estudar a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão no intervalo ]0, π/2[.

Exercício 11.2 · 2.ª fase 2025

Determinar a abcissa do ponto A recorrendo à reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0, à reta perpendicular s e à área do triângulo [OAB] que é igual a 12.

Exercício 3.1 · Época especial 2025

Estude a função f quanto à monotonia e extremos relativos, apresentando os intervalos de monotonia e o valor de x onde ocorre o extremo relativo.

Exercício 11 · Época especial 2025

Considere uma função f duas vezes diferenciável com f''(x) >= 0 sse x >= 3/4, com dois zeros em 3/4 e 3, e retas tangentes r e s nos pontos de abcissas -2 e -1. Justifique que são falsas: I. O gráfico de f tem dois pontos de inflexão (em 3/4 e 3); II. O declive de r é menor do que o de s.

Exercício 13 · Época especial 2025

Seja f uma função positiva e duas vezes diferenciável com concavidade voltada para cima e f'(x) != 0. Estude o sentido das concavidades do gráfico de g(x) = [f(x)]^2.

Exercício 1 · 1.ª fase 2024

Seja f uma função de domínio ℝ e contradomínio [-1, 3]. Qual é o contradomínio da função g definida por g(x) = f(x - 2) + 1?

Exercício 5 - Derivadas e estudo de funções · 1.ª fase 2024

Estude, no intervalo ]1, +∞[, a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos. Apresente os intervalos de monotonia.

Exercício 13 · 1.ª fase 2024

A reta y = mx + 1 é tangente ao gráfico de f(x) = 2x^2 + bx + 5 num ponto de abcissa positiva. Determine a abcissa desse ponto.

Exercício 10 · 2.ª fase 2024

Seja f uma função de domínio R+, duas vezes diferenciável, com f' estritamente crescente em ]0, +inf[ e f'(1) = 2. Justificar que são falsas as proposições: I. O gráfico de f pode ter concavidade voltada para baixo em R+; II. No intervalo ]1, 5[, a função f tem, pelo menos, um extremo.

Exercício 11 · 2.ª fase 2024

Dada g'(x) = cos(2x) + 2 sen x em ]-pi/2, pi/2[: 11.1 Determinar a equação reduzida da reta s paralela à reta tangente a g em x=0 e que passa em (4,0); 11.2 Estudar a concavidade do gráfico de g e determinar os pontos de inflexão.

Exercício 14 · 2.ª fase 2024

Considere uma função f, de domínio R, par e diferenciável. Seja a um número real tal que f'(a) = f(a), com f(a) ≠ 0. Prove que f'(-a) × f'(a) = -[f(a)]^2.

Exercício 3.2 · Época especial 2024

Estude, no intervalo ]0, 2pi], a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de x para os quais a função f tem extremos relativos.

Exercício 11 · Época especial 2024

Justifique que as proposições I (f'(0) > 0) e II (as retas r e s são perpendiculares) são falsas, sabendo que r é tangente ao gráfico de f na origem, s é assíntota quando x -> +infinito, intersectam-se no 4.º quadrante e o produto dos limites é -8/9.

Exercício 3 · 1.ª fase 2023

Estudar a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão a partir de f'(x) = -2x e^(1-x^2).

Exercício 9 · 1.ª fase 2023

Apresentar razões que justifiquem a falsidade de três proposições sobre assíntotas de f, limite de g(x) em x->1 e relação entre f''(x) e g''(x).

Exercício 12.1 - Derivadas · 1.ª fase 2023

Qual das expressões seguintes pode definir a função derivada de f, sendo f(x) = sen(2x) + x?

Exercício 13 · 1.ª fase 2023

Sejam a e b números reais, não nulos, tais que a reta de equação y = ax + b é tangente ao gráfico da função f definida por f(x) = ax^2 + bx. Determine as coordenadas do ponto de tangência.

Exercício 10 · 2.ª fase 2023

Justifique que em nenhum dos referenciais I, II e III pode estar representada parte do gráfico da função g em ]-∞, 0[ \ {-1}, sendo g uma função par, diferenciável, tal que lim_{x -> 1^-} g(x) = +∞, g(0) < 0 e g'(x) < 0 em ]-∞, -1[.

Exercício 14.2 - Derivadas e estudo de funções · 2.ª fase 2023

Estude a função f(x) = (ln x + 2x)/x quanto à monotonia e extremos relativos sem calculadora, apresentando os intervalos de monotonia.

Exercício 16 · 2.ª fase 2023

Mostrar que a área do triângulo [PQR], formado pelos pontos P e Q de mesma abcissa e pelo ponto R de intersecção das retas tangentes a f e g nesses pontos, é sempre igual a k.

Exercício 9.1 · Época especial 2023

Estude a função g(x) = e^x cos x no domínio [0, pi[ quanto à monotonia e extremos relativos, determinando os intervalos de monotonia e os extremos.

Exercício 14 · Época especial 2023

Considere h(x) = ax^2, com a != 0, e dois pontos A e B do seu gráfico. Mostre que o ponto de intersecção das retas tangentes ao gráfico de h nos pontos A e B pertence à reta vertical que contém o ponto médio do segmento de reta [AB].

Exercício 8.2 - Monotonia e extremos relativos · 1.ª fase 2022

Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos no intervalo ]-∞, -2[, e determine esses extremos, apresentando os intervalos de monotonia.

Exercício 15 · 1.ª fase 2022

Seja f(x) = k/x em R+. Sejam A e B pontos do gráfico (A com menor abcissa) e C o ponto onde a reta tangente é paralela à reta AB. Mostre que as abcissas dos três pontos são termos consecutivos de uma progressão geométrica.

Exercício 1 · 2.ª fase 2022

Em qual das opções seguintes está representada graficamente, em referencial o.n. Oxy, uma função que tem um mínimo em x = 0 ?

Exercício 9 · 2.ª fase 2022

9. Seja g uma função derivável em ]-∞, π[ \ {0}, com g'(x) dada por ramos. 9.1: Estudar o sentido das concavidades e os pontos de inflexão em ]0, π[. 9.2: Em ]-∞, 0[, determinar a abcissa do ponto do gráfico em que a reta tangente é paralela a y = -2x.

Exercício 13 · 2.ª fase 2022

Seja a um número real. Considere a função polinomial definida por f(x) = (1/3)x^3 + ax^2 + a^2 x + √2. Mostre que, para qualquer valor de a, a função não tem extremos.

Exercício 11.2 - Derivadas e estudo de funções · Época especial 2022

Mostrar que a área do triângulo [OAB], formado pela reta tangente ao gráfico de g em x = 0 e os eixos coordenados, é (ln 2)^2.

Exercício 13 · Época especial 2022

Estude, sem recorrer à calculadora, a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, sendo g'(x) = (x - e^(3x))/x para x pertencente a R+.

Exercício 15 · Época especial 2022

Seja k > 0 e f(x) = sqrt(kx) - ln(kx) para x > 0. Determine, sem recorrer à calculadora, o contradomínio de f.

Exercício 10.2 · 1.ª fase 2021

Item 10.2: Estude, no intervalo ]0, 1[, a função f quanto à monotonia e extremos relativos, e determine esses extremos.

Exercício 9.2 - Derivadas e estudo de funções · 2.ª fase 2021

Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa -2.

Exercício 10 · 2.ª fase 2021

Estudar a função h(x) = sen x + cos^2 x quanto à monotonia e existência de extremos relativos no domínio [0, pi/2[, apresentando os intervalos de monotonia.

Exercício 10.2 - Derivadas e estudo de funções · Época especial 2021

Estude em ]-inf, 1[ a função f quanto à monotonia e existência de extremos relativos, determinando os intervalos de monotonia e os extremos.

Exercício 15 · Época especial 2021

Determinar as abcissas dos pontos A e B de tangência de uma reta não horizontal tangente simultaneamente aos gráficos de f(x) = 2x^2 e g(x) = -(x-1)^2.

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