Exercício 16 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2023

16. Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $]0, +\infty[$, definidas por $f(x) = \frac{k}{x}$ e por $g(x) = -\frac{k}{x}$, com $k > 0$.

Considere ainda:

dois pontos $P$ e $Q$, com a mesma abcissa, pertencentes, respetivamente, ao gráfico da função $f$ e ao gráfico da função $g$;

a reta $s$, tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $P$;

a reta $t$, tangente ao gráfico da função $g$ no ponto $Q$;

o ponto $R$, ponto de intersecção das retas $s$ e $t$.

Mostre que, qualquer que seja a abcissa dos pontos $P$ e $Q$, a área do triângulo $[PQR]$ é igual a $k$.