Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2023

Tema: Derivadas e estudo de funções · Do exame 2.ª fase (2023)

Enunciado

10. Seja $g$ uma função par, diferenciável, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ , tal que:

$\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty$ ;

$g(0) < 0$ ;

$g'(x) < 0,\ \forall x \in ]-\infty, -1[$ .

Em cada um dos referenciais o.n. $Oxy$ seguintes, I, II e III, estão representadas parte do gráfico de uma função e a assíntota a esse gráfico, de equação $x = -1$ .

Justifique que em nenhum dos referenciais, I, II e III, pode estar representada parte do gráfico da função $g$ em $]-\infty, 0[\setminus\{-1\}$ .

Na sua resposta, apresente, para cada um dos referenciais, uma razão que justifique a impossibilidade de nele estar representada parte do gráfico da função $g$ em $]-\infty, 0[\setminus\{-1\}$ .

Enunciado: Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2023

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Justificação da impossibilidade relativa ao referencial I

Resposta: Dado que $g$ , por ser diferenciável, é contínua, tem-se $\lim_{x \to 0^-} g(x) = g(0) < 0$ . Na função representada no referencial I, o limite quando $x$ tende para 0, por valores à esquerda, é positivo.

Justificação da impossibilidade relativa ao referencial II

Resposta: Dado que $g'(x) < 0,\ \forall x \in ]-\infty, -1[$ , $g$ é decrescente em $]-\infty, -1[$ . A função representada no referencial II não é decrescente no intervalo $]-\infty, -1[$ .

Justificação da impossibilidade relativa ao referencial III

Resposta: Dado que $g$ é par e $\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty$ , tem-se $\lim_{x \to -1^+} g(x) = +\infty$ , o que não se observa na representação gráfica do referencial III.

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