Exercícios de Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar

31 exercícios de Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar de Matemática A que saíram no Exame Nacional (2021-2026). Com resolução.

Exercício 4 · 1.ª fase 2026

Problema de geometria no espaço sobre o paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH]: 4.1. Escolha múltipla: determinar a equação do plano perpendicular à reta DH que passa no ponto G(6, 9, 0). 4.2. Determinar a equação da superfície esférica de centro no ponto A e que passa no ponto F sem recorrer à calculadora.

Exercício 15 · 1.ª fase 2026

Dada a função f(x) = x^2 - 1 e a reta s de equação y = a com a > -1, determine em função de a o raio da circunferência que contém o vértice da parábola e os pontos de intersecção da parábola com a reta s.

Exercício 8 · 2.ª fase 2026

8. Na Figura 1 está representado o cubo [ABCDEFGH]. Sabe-se que A(-3, 5, 2) e o plano BCF tem equação -3x + 6y - 2z + 14 = 0. 8.1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira sobre produtos escalares de vetores no cubo? 8.2. Determine o volume do cubo [ABCDEFGH].

Exercício 9 · 2.ª fase 2026

Na Figura 2, está representado o retângulo [ABCD]. O ponto A tem coordenadas (2, 0), D pertence ao eixo Oy e a reta BC tem equação y = -2x + 5. Determine as coordenadas do ponto C.

Exercício 13 (AE2023) · 2.ª fase 2026

No triângulo [PQR], B e C são baricentro e circuncentro, S é o ponto médio de [RQ], C pertence a [PS], PR = PQ, PB = 6 e QR = 6√6. Determine CS.

Exercício 1 · Época especial 2026

1. Superfície esférica de centro (1/2, 3, 3) tangente a xOy em A e a xOz em B. 1.1. Identificar a equação que define a superfície esférica. 1.2. Seja plano alfa que passa em (4, 3, -5) e é perpendicular à reta AB. Determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta AB com o plano alfa.

Exercício 8 · Época especial 2026

Na Figura 2, está representada uma circunferência de centro O e raio 4. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O arco de circunferência AB tem comprimento 8π/3. Determine o valor do produto escalar AO · AB.

Exercício 7 · 1.ª fase 2025

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato do comprimento do arco AB dado o raio da circunferência centrada em C e o produto escalar AB . AC = 6.

Exercício 10 · 1.ª fase 2025

10.1. Escolha a reta perpendicular a DF que passa por A. 10.2. Determine as coordenadas do ponto C pertencente ao plano mediador de [AB].

Exercício 15 · 1.ª fase 2025

Mostre que, sendo f(x) = ax^3 + bx + c (a, b, c não nulos) e r uma reta que intersecta o gráfico de f no ponto de abcissa zero, se r intersectar o gráfico de f noutros dois pontos distintos, esses pontos têm abcissas simétricas.

Exercício 10.1 e 10.2 · 2.ª fase 2025

10.1. Determinar o produto escalar entre os vetores AB e AC, sabendo que a base [ABCD] é um quadrado de lado √6. 10.2. Determinar as coordenadas do vértice V da pirâmide regular de base quadrada [ABCD], sabendo que M(2, -1, 3), o plano ABC é 2x - y + z - 8 = 0, o volume é 4√6 e V tem abcissa positiva.

Exercício 4 · Época especial 2025

Na Figura 1, estão representados o retângulo [OABC] e os segmentos [CD] e [DB]. Sabe-se que OC = 8, OA = 15, vec(DC) . vec(DB) = 50 e OD < DA. Determine as coordenadas do ponto D.

Exercício 6 · Época especial 2025

6. Na Figura 3, está representado o prisma reto de bases quadradas [ABCDEFGH]. A base [ABCD] está contida no plano x = 3; F(-9, 0, 2); plano CDE tem equação 5y + 2z - 62 = 0. 6.1. Identificar em qual das opções se apresentam as coordenadas de um ponto pertencente à reta CD. 6.2. Sem recorrer à calculadora, determinar…

Exercício 3 - Geometria analítica no espaço · 1.ª fase 2024

3.1. Escolha a equação cartesiana do plano ABF. 3.2. Determine a amplitude do ângulo convexo AOB em graus, arredondado às unidades.

Exercício 1 · 2.ª fase 2024

1.1 Identificar a equação vetorial da reta que passa em A e é paralela a FC. 1.2 Determinar a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo.

Exercício 5 · 2.ª fase 2024

Determinar o valor do ângulo α sabendo que QR · QP = 27 num triângulo inscrito numa circunferência.

Exercício 5 · Época especial 2024

Cone reto com base contida em x + 2y - 8 = 0. O segmento [AB] é diâmetro da base, com A no semieixo Ox e B no semieixo Oy. 5.1: Equação do plano paralelo à base passando por (1, -3, 5). 5.2: Coordenadas do vértice V sabendo que a sua abcissa tem menos uma unidade do que a sua ordenada.

Exercício 6 · 1.ª fase 2023

6.1. Identificar a equação vetorial da reta OD a partir dos dados do prisma reto triangular. 6.2. Determinar as coordenadas do ponto C.

Exercício 7 · 1.ª fase 2023

Determine o valor de cos(2α), sabendo que A(2, 0), o raio da circunferência é 2, P e Q têm a mesma abcissa, o ângulo orientado AOQ é α e o produto escalar OP · OQ = 3.

Exercício 8 · 2.ª fase 2023

8.1: Escolher a equação da superfície esférica de diâmetro [AG], onde A(4, 0, 0) e G(12, 13/2, 2). 8.2: Determinar analiticamente as coordenadas do vértice F do prisma hexagonal reto.

Exercício 9 · 2.ª fase 2023

Determinar o comprimento do segmento OA sabendo que EB = OD = OA/3, OC = OA/4 e o produto escalar DC · DE = -7 num retângulo [OABC].

Exercício 5 · Época especial 2023

Em referencial o.n. Oxyz, prisma reto [OABCDE] com base [OAB] e altura dada pela cota de D (5). 5.1. Equação do plano que passa em A(2√3, 6, 0) e é perpendicular a Ox. 5.2. Determinar o volume do prisma sem recurso à calculadora.

Exercício 6 · 1.ª fase 2022

6.1. Escolha múltipla: equação de plano perpendicular à base do cone que passa em (1, 2, -1). 6.2. Determinar o volume do cone reto sem calculadora.

Exercício 7 · 1.ª fase 2022

Na Figura 3, está representada a circunferência de equação (x+2)^2 + (y-1)^2 = 9. O ponto C é o centro da circunferência. A e B são pontos da circunferência. O arco AB tem comprimento 2π. Determine o valor do produto escalar CA · CB.

Exercício 5 · 2.ª fase 2022

Na Figura 1, cubo [ABCDEFGH] com A(-2,5,0), B(1,-1,2), C(3,2,8). 5.1: Valor de AB · HE. 5.2: O vértice E pertence à reta (x,y,z)=(0,0,3)+k(1,-1,-1). Determinar as coordenadas de E.

Exercício 15 · 2.ª fase 2022

Considere f(x) = x^2 e uma reta r não vertical que passa em (0,1). Sejam A e B os pontos de intersecção de r com o gráfico de f. Mostre que o ângulo convexo AOB é um ângulo reto.

Exercício 1 · Época especial 2022

Problema de geometria no espaço envolvendo um prisma hexagonal reto. 1.1: Equação do plano que contém a face [GHIJKL]. 1.2: Equação cartesiana do plano LEF.

Exercício 12.1 - Geometria analítica no plano · Época especial 2022

Qual das expressões seguintes representa a ordenada na origem da reta s de declive m que passa pelo ponto A(-1, 1)?

Exercício 1 · 1.ª fase 2021

1.1. Qual das equações define uma reta perpendicular à reta EF e que passa no ponto E? 1.2. Determine a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto B e que passa no ponto D.

Exercício 1 · 2.ª fase 2021

Na Figura 1 está representado um trapézio [PQRS] num referencial o.n. Oxyz com vértices P(1,-1,2), Q(-2,1,1) e R(-5,5,-3). 1.1: Escolher a condição que define a superfície esférica de centro em R e que passa em Q. 1.2: Determinar a equação do plano perpendicular à reta RS e que passa no ponto P na forma ax + by + cz +…

Exercício 1 · Época especial 2021

Problema de geometria no espaço envolvendo uma pirâmide regular de base quadrada [ABCD] contida em xOz e vértice E(-2, 6, 2). 1.1: Equação do plano perpendicular a BE passando por (1, 0, 1). 1.2: Determinar as coordenadas do vetor AB.

Outros temas de Matemática A

Probabilidades e cálculo combinatório

Estatística

Geometria e trigonometria

Sucessões

Funções reais

Números complexos