Exame Nacional Matemática A 2022
Exames Nacionais de Matemática A 2022: 1.ª fase, 2.ª fase e Época especial. Com a resolução de cada exercício e correção imediata.
Matemática A · 2027
- 2026: Calculadora gráfica obrigatória em modo de exame
Calendário dos Exames Nacionais 2027
1.ª fase (2022)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Sucessões e progressões
1. Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão convergente? (A) (-1)^n * n, (B) (-1)^n / n, (C) (-1)^n + n, (D) (-1)^n - n. - Exercício 2 · Sucessões e progressões
2. A soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 2/3 é 211. Determine o quinto termo desta progressão. - Exercício 3 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
3. Sejam A e B acontecimentos tais que P(B barra) = 0,6, P(A U B) = 0,6 e A ∩ B = ∅. Qual é o valor de P(A barra)? (A) 0,2, (B) 0,4, (C) 0,6, (D) 0,8. - Exercício 4 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
4. Explique, no contexto do jogo Semáforo com tabuleiro 3x4 e peças de três cores, cada parcela da expressão 3 * 12C2 + 3C2 * 12A2 para determinar o número de configurações coloridas com 2 peças. - Exercício 5 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Determinar a probabilidade de um aluno não ter jogado Semáforo e ter jogado Rastros, na forma de fração irredutível. - Exercício 6 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
6.1. Escolha múltipla: equação de plano perpendicular à base do cone que passa em (1, 2, -1). 6.2. Determinar o volume do cone reto sem calculadora. - Exercício 7 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Na Figura 3, está representada a circunferência de equação (x+2)^2 + (y-1)^2 = 9. O ponto C é o centro da circunferência. A e B são pontos da circunferência. O arco AB tem comprimento 2π. Determine o… - Exercício 8.1 - Continuidade · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averigue se a função f é contínua em x = 2, sem recorrer à calculadora. - Exercício 8.2 - Monotonia e extremos relativos · Derivadas e estudo de funções
Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos no intervalo ]-∞, -2[, e determine esses extremos, apresentando os intervalos de monotonia. - Exercício 9 · Modelação com a calculadora gráfica
9. Na Figura 4, está representado um cabo suspenso em dois postes distanciados 10 m, com h(x) = 6,3(e^((x-5)/12,6) + e^((5-x)/12,6)) - 7,6. 9.1. Qual é a distância da base do poste da esquerda ao… - Exercício 10 · Números complexos
Identificar qual dos pontos representados no plano complexo (A, B, C ou D) pode ser o afixo de -i w^2, sabendo que Im(w) = -Re(w) e Re(w) > 1. - Exercício 11 · Números complexos
Determinar na forma algébrica a + bi a solução da equação z^3 = ((-√3 + i)/(√2 i))^6 cujo afixo pertence ao terceiro quadrante. - Exercício 12 · Trigonometria e funções trigonométricas
Mostrar que o comprimento do segmento [AB], em centímetros, no triângulo [ABC] com ângulo BAC = x, CBA = 2x e BC = 2 cm é dado por 8 cos^2(x) - 2. - Exercício 13 · Limites e assíntotas
Seja g a função, de domínio ]1, +inf[, definida por g(x) = 5x - 3 ln(x - 1). Estude a função g quanto à existência de assíntotas verticais e de assíntotas oblíquas ao seu gráfico e, caso existam,… - Exercício 14 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine os números reais que são solução da equação (e^x - 1) ln(5 - 2x) + e^x ln(3 - x) = ln(3 - x) sem calculadora. - Exercício 15 · Derivadas e estudo de funções
Seja f(x) = k/x em R+. Sejam A e B pontos do gráfico (A com menor abcissa) e C o ponto onde a reta tangente é paralela à reta AB. Mostre que as abcissas dos três pontos são termos consecutivos de uma…
2.ª fase (2022)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Derivadas e estudo de funções
Em qual das opções seguintes está representada graficamente, em referencial o.n. Oxy, uma função que tem um mínimo em x = 0 ? - Exercício 2 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
A soma de todos os elementos de uma linha do triângulo de Pascal é 16 384. Qual é o valor do quarto elemento da linha seguinte? - Exercício 3 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Dos passageiros de um voo de avião do Porto para Faro sabe-se que 70% nunca tinham viajado de avião, 2/5 já tinham estado em Faro e metade dos que já tinham estado em Faro já tinha viajado de avião.… - Exercício 4 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Um saco contém 12 cartões (3 azuis, 2 brancos, 3 pretos e 4 vermelhos). Os cartões são retirados sucessivamente e dispostos em linha. Determine a probabilidade de os cartões azuis ficarem todos… - Exercício 5 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Na Figura 1, cubo [ABCDEFGH] com A(-2,5,0), B(1,-1,2), C(3,2,8). 5.1: Valor de AB · HE. 5.2: O vértice E pertence à reta (x,y,z)=(0,0,3)+k(1,-1,-1). Determinar as coordenadas de E. - Exercício 6 · Números complexos
Em C, a condição z × z̄ = 4. Identificar em qual das opções (A), (B), (C) ou (D) está representado o conjunto de pontos no plano complexo. - Exercício 7 · Números complexos
Considere o número complexo z = 4/(1-i) + 4*i^18, que é uma das raízes cúbicas de w. Determine as restantes raízes cúbicas de w e apresente-as na forma trigonométrica. - Exercício 8 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averigue analiticamente se a função f definida por ramos é contínua em x = 0. - Exercício 9 · Derivadas e estudo de funções
9. Seja g uma função derivável em ]-∞, π[ \ {0}, com g'(x) dada por ramos. 9.1: Estudar o sentido das concavidades e os pontos de inflexão em ]0, π[. 9.2: Em ]-∞, 0[, determinar a abcissa do ponto do… - Exercício 10 · Limites e assíntotas
Estude a função h de domínio ]0, +inf[, definida por h(x) = (e^x + ln x)/(e^x - 1), quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados e escreva as respetivas equações. - Exercício 11 · Modelação com a calculadora gráfica
11. Modelação da massa de sal num tanque através da função m(t). 11.1. Percentagem de aumento de massa no primeiro minuto. 11.2. Determinar o instante t a partir do qual, após 30 minutos, a massa… - Exercício 12 · Sucessões e progressões
Seja (u_n) a sucessão definida por u_n = (-1)^n se n <= 3 e u_n = (4n-1)/(n+3) se n > 3. Mostre que a sucessão (u_n) é limitada. - Exercício 13 · Derivadas e estudo de funções
Seja a um número real. Considere a função polinomial definida por f(x) = (1/3)x^3 + ax^2 + a^2 x + √2. Mostre que, para qualquer valor de a, a função não tem extremos. - Exercício 14 · Trigonometria e funções trigonométricas
Determine a área do triângulo [AOB] sabendo que r tem equação y = (√3/2)x + 1, s passa na origem com inclinação α onde cos α = 1/2, A é a intersecção de r com Ox e B é a intersecção de r com s. - Exercício 15 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Considere f(x) = x^2 e uma reta r não vertical que passa em (0,1). Sejam A e B os pontos de intersecção de r com o gráfico de f. Mostre que o ângulo convexo AOB é um ângulo reto.
Época especial (2022)
Temas do exame: Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar · Trigonometria e funções trigonométricas · Sucessões e progressões · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Limites e assíntotas · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos · Derivadas e estudo de funções · Modelação com a calculadora gráfica · Números complexos
- Exercício 1 · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Problema de geometria no espaço envolvendo um prisma hexagonal reto. 1.1: Equação do plano que contém a face [GHIJKL]. 1.2: Equação cartesiana do plano LEF. - Exercício 2 · Trigonometria e funções trigonométricas
Mostrar que a área da região sombreada inscrita na semicircunferência de diâmetro 4 é dada por 2pi - 4 sen(2alpha). - Exercício 3 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Determinar quantos números de cinco algarismos diferentes formados por 0 a 5 terminam em 5. - Exercício 4 · Cálculo combinatório, triângulo de Pascal e regra de Laplace
Uma empresa tem 60 funcionários em diferentes regimes de trabalho. Explicar a expressão (60C4 - 45C4) / 60C4 que dá a probabilidade de selecionar no máximo três funcionários que trabalham em regime… - Exercício 5 · Probabilidade condicionada, propriedades da probabilidade e variáveis aleatórias
Sejam A e B acontecimentos independentes com P(A) != 0. Provar que P(B) + P(A)*(1 - P(B|A)) = P(A) + P(B)*P(não A). - Exercício 6 · Sucessões e progressões
Determinar o limite da sucessão u_n = ((n + k)/n)^n, sendo k um número natural. - Exercício 7 · Sucessões e progressões
De uma progressão aritmética, (v_n), sabe-se que v_3 = 1 e v_10 = 5/4 * v_9. Averigue, sem recorrer à calculadora, se -50 é termo da progressão (v_n). - Exercício 8 · Números complexos
Identificar a representação gráfica do afixo P do número complexo z = e * e^(i*e) no plano complexo. - Exercício 9 · Números complexos
Determinar sem calculadora o valor de theta em [0, 2pi[ tal que z_1 * z_2 = 3 + 2i, com z_1 = (1 + i)^2 * (2 + i) + i^7 e z_2 = sen(theta) + i*cos(theta). - Exercício 10 · Continuidade, teorema de Bolzano-Cauchy e métodos numéricos
Averiguar, sem recurso à calculadora, se a função f definida por ramos é contínua em x = 0, recorrendo ao limite notável da função exponencial. - Exercício 11.1 - Limites e assíntotas · Limites e assíntotas
Determinar uma equação de cada uma das assíntotas ao gráfico de g: a assíntota oblíqua quando x -> -infinito e a assíntota horizontal quando x -> +infinito. - Exercício 11.2 - Derivadas e estudo de funções · Derivadas e estudo de funções
Mostrar que a área do triângulo [OAB], formado pela reta tangente ao gráfico de g em x = 0 e os eixos coordenados, é (ln 2)^2. - Exercício 12.1 - Geometria analítica no plano · Geometria analítica no plano e no espaço e produto escalar
Qual das expressões seguintes representa a ordenada na origem da reta s de declive m que passa pelo ponto A(-1, 1)? - Exercício 12.2 - Modelação com a calculadora gráfica · Modelação com a calculadora gráfica
Determinar com recurso à calculadora o valor de m para o qual a área do triângulo [ABC] é 4, apresentando a equação e o valor arredondado às centésimas. - Exercício 13 · Derivadas e estudo de funções
Estude, sem recorrer à calculadora, a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, sendo g'(x) = (x - e^(3x))/x para x pertencente a R+. - Exercício 14 · Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações
Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto de soluções da equação (1/2) * log_2(9x + 1) = log_2(6x). - Exercício 15 · Derivadas e estudo de funções
Seja k > 0 e f(x) = sqrt(kx) - ln(kx) para x > 0. Determine, sem recorrer à calculadora, o contradomínio de f.
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