Exercício 11 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2023

11. Na Figura 5, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$:

uma circunferência, de centro na origem;

o ponto $A$, ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo $Ox$;

a reta $r$, de equação reduzida $y = x - 6$.

Considere que um ponto, $P$, partindo de $A$, se desloca sobre a circunferência, no sentido positivo, durante $7$ segundos, percorrendo mais do que uma volta.

Nesse percurso, a distância, $d$, do ponto $P$ à reta $r$, $t$ segundos após o início do deslocamento, é dada por

$$d(t) = \frac{3\sqrt{2}}{2}(2 + \operatorname{sen} t - \cos t), \quad \text{com } t \in [0, 7]$$

Sabe-se que as distâncias máxima e mínima do ponto $P$ à reta $r$ são, respetivamente, $3\sqrt{2} + 3$ e $3\sqrt{2} - 3$.

Durante o percurso, existem dois instantes em que a distância do ponto $P$ à reta $r$ é igual ao diâmetro da circunferência.

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, esses instantes.

Apresente os resultados em segundos, arredondados às décimas.

Não justifique a validade dos resultados obtidos.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes, que lhe permitem resolver a equação.

$t_1 =$

s

$t_2 =$

s