Exame Nacional Matemática A 2023 · Época especial

1. Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona?

()

2. Uma composição geométrica é constituída por uma sequência de $25$ semicircunferências em que, à exceção da primeira, o raio de cada semicircunferência é o dobro do raio da semicircunferência anterior.

A Figura 1 representa parte dessa composição, em que $c_1$, $c_2$ e $c_3$ são as três primeiras semicircunferências, com $1\text{ cm}$, $2\text{ cm}$ e $4\text{ cm}$ de raio, respetivamente.

Determine o comprimento total da linha obtida com esta composição geométrica.

Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades.

km

3. Seja $\Omega$ o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$).

Sabe-se que:

$P(A \cup B) = 0{,}8$;

$P(A \cap \overline{B}) = 0{,}5$.

Qual é o valor de $P(B)$?

()

O Rui tem nove bombons com recheio de frutos secos: quatro de amêndoa, dois de avelã e três de noz.

4.1. Numa caixa com nove compartimentos, numerados de 1 a 9, o Rui vai colocar, aleatoriamente, os nove bombons, um bombom em cada compartimento.

Os nove compartimentos estão dispostos em três linhas por três colunas, como se ilustra na Figura 2.

Determine a probabilidade de uma das três linhas ficar preenchida com três bombons de amêndoa.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

O Rui tem nove bombons com recheio de frutos secos: quatro de amêndoa, dois de avelã e três de noz.

4.2. Aos nove bombons com recheio de frutos secos, juntam-se vinte e dois bombons com recheio de caramelo.

Selecionam-se, sucessivamente, ao acaso e sem reposição, três bombons.

Considere os acontecimentos:

$A$: «o primeiro bombom tem recheio de frutos secos»;

$B$: «o segundo bombom tem recheio de frutos secos»;

$C$: «o terceiro bombom tem recheio de caramelo».

Justifique, sem recorrer à fórmula da probabilidade condicionada, que o valor da probabilidade $P(C|(A \cap \overline{B}))$ é $\frac{21}{29}$.

Na sua resposta, tendo em conta o contexto descrito:

interprete o significado de $P(C|(A \cap \overline{B}))$;

explique o valor do numerador e o valor do denominador da fração apresentada.

Na Figura 3, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma triangular reto $[OABCDE]$, de bases $[OAB]$ e $[CDE]$.

Sabe-se que:

as coordenadas do ponto $A$ são $(2\sqrt{3}, 6, 0)$;

o ponto $B$ pertence ao plano mediador do segmento de reta $[OA]$;

a reta $AB$ é definida pela equação vetorial $$(x, y, z) = (0, 16, 0) + k(\sqrt{3}, -5, 0),\quad k \in \mathbb{R};$$

o ponto $D$ pertence ao eixo $Oz$ e tem cota $5$.

5.1.

Qual das seguintes equações define o plano que passa no ponto $A$ e é perpendicular ao eixo $Ox$?

()

5.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine o volume do prisma $[OABCDE]$.

Na Figura 4, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência trigonométrica, o triângulo $[ABC]$ e a reta de equação $x = 1$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(1, 0)$;

o ponto $B$ pertence à reta de equação $x = 1$;

$C$ é o ponto de intersecção da semirreta $\dot{O}B$ com a circunferência trigonométrica;

$A\hat{O}B = \alpha$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ e $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Determine a área do triângulo $[ABC]$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, definida, para um certo $a \in \mathbb{R}^+$, por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\text{sen}(ax)}{e^x - 1} & \text{se } x < 0 \\[2ex] \ln(2 - e^{-x}) + x + 2 & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Resolva os itens 7.1. e 7.2. sem recorrer à calculadora.

Determine o valor de $a$ para o qual existe $\lim_{x \to 0} f(x)$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, definida, para um certo $a \in \mathbb{R}^+$, por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\text{sen}(ax)}{e^x - 1} & \text{se } x < 0 \\[2ex] \ln(2 - e^{-x}) + x + 2 & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Resolva os itens 7.1. e 7.2. sem recorrer à calculadora.

O gráfico de $f$ admite uma assíntota oblíqua quando $x$ tende para $+\infty$.

Determine uma equação dessa assíntota.

Para certos valores de $a$ e de $b$ ($a > 1$ e $b > 1$), tem-se $\log_a\left(\frac{b}{a}\right) = 2$.

Qual é o valor de $\log_a\left(\sqrt{a^3} \times b^2\right)$?

()

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere a função $g$, de domínio $[0, \pi[$, definida por $g(x) = e^x \cos x$.

Estude a função $g$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine esses extremos, caso existam.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia da função $g$.

Considere a função $g$, de domínio $[0, \pi[$, definida por $g(x) = e^x \cos x$.

9.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de $g$ cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo $\left]\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right[$.

10. Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação

$$\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{3}$$

$x =$

11. Na Figura 5, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$:

uma circunferência, de centro na origem;

o ponto $A$, ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo $Ox$;

a reta $r$, de equação reduzida $y = x - 6$.

Considere que um ponto, $P$, partindo de $A$, se desloca sobre a circunferência, no sentido positivo, durante $7$ segundos, percorrendo mais do que uma volta.

Nesse percurso, a distância, $d$, do ponto $P$ à reta $r$, $t$ segundos após o início do deslocamento, é dada por

$$d(t) = \frac{3\sqrt{2}}{2}(2 + \operatorname{sen} t - \cos t), \quad \text{com } t \in [0, 7]$$

Sabe-se que as distâncias máxima e mínima do ponto $P$ à reta $r$ são, respetivamente, $3\sqrt{2} + 3$ e $3\sqrt{2} - 3$.

Durante o percurso, existem dois instantes em que a distância do ponto $P$ à reta $r$ é igual ao diâmetro da circunferência.

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, esses instantes.

Apresente os resultados em segundos, arredondados às décimas.

Não justifique a validade dos resultados obtidos.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes, que lhe permitem resolver a equação.

$t_1 =$

s

$t_2 =$

s

Seja $z$ um número complexo de argumento $\frac{\pi}{7}$.

Qual dos seguintes valores é um argumento de $2iz$ ?

()

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, os números

$$z_1 = -5i \quad \text{e} \quad z_2 = -1 - \sqrt{3}\,i$$ Determine o menor número natural $n$ para o qual o número complexo $w = \frac{z_1 + i^{23}}{z_2^n}$ é um imaginário puro.

Considere uma função, $h$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $h(x) = ax^2$, com $a \neq 0$, e dois pontos, $A$ e $B$, do seu gráfico.

Mostre que o ponto de intersecção das retas tangentes ao gráfico de $h$ nos pontos $A$ e $B$ pertence à reta vertical que contém o ponto médio do segmento de reta $[AB]$.