Exercício 15 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2023

15. Na Figura 6, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, uma semicircunferência de raio $2$, e centro na origem do referencial, e o triângulo isósceles $[ABC]$.

Sabe-se que:

o vértice $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o vértice $B$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

o vértice $C$ pertence ao semieixo negativo $Ox$;

$\overline{AB} = \overline{BC}$;

o lado $[AB]$ é tangente à semicircunferência no ponto $T$;

$A\hat{O}T = \alpha$, $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$.

Prove que a área do triângulo $[ABC]$ é dada, em função de $\alpha$, por $$\frac{8}{\operatorname{sen}(2\alpha)}$$