Exercício 12 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2023

12. Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $$z = \frac{2\,i^{11}\,e^{i\alpha}}{-1 - \sqrt{3}\,i}\,, \quad \text{com } \alpha \in [0, 2\pi[\,.$$

Sabe-se que:

$\operatorname{Re}(z) = -\operatorname{Im}(z)$;

o afixo de $z$ pertence ao 4.º quadrante.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $\alpha$.