Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies kann zum Beispiel bei einem geheimen Code für einen Tresor sinnvoll sein, den nicht eine einzelne Person kennen soll, sondern der nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen etwa geometrisch umsetzen. Dabei können die Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der zu bestimmende geheime Code stets dreistellig ist.

a)

(1) Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt mit $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},\ t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Jeweils einer von drei eingeweihten Mitarbeitern kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines dieser Punkte. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

(i)

Man gibt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ in das System ein.

Berechnen Sie den geheimen Code.

(ii)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Einem vierten Mitarbeiter wird der Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis anvertraut. Auch $D$ liegt in der Ebene $H$.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code dennoch nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden.

(2) Das System verarbeitet nicht nur Koordinaten von Ebenenpunkten, sondern auch weitere Angaben zur Ebene, etwa die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H$.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Geschäftsführerin den geheimen Code schon gemeinsam mit irgendeinem der vier eingeweihten Mitarbeiter ermitteln kann.

(ii)

Berechnen Sie einen Normalenvektor der Ebene $H$.