Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\, a > 0 \text{ sowie}$$$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3 - \frac{3}{5}x.$$ Abbildung 1 stellt den Graphen von $g_1$ dar.

Teilaufgabe a

a) (1)

Berechnen Sie für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten des Extrempunktes.

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 den Graphen von $f_1$ ein.

a) (2)

Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ über dem Graphen von $g_1$ liegt und für welche darunter. Begründen Sie Ihre Angabe.

a) (3)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründen Sie Ihre Angabe ausgehend von I und II.

Teilaufgabe b

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \,\Big|\, \frac{5}{2a^3}\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a} \,\Big|\, g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$, sie wird durch die Gleichung $t_{g_a}: y = \frac{5-3a^2}{5a^2}x - \frac{5}{2a^3}$ beschrieben.

Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_a$ bezeichnet.

b) (1)

Weisen Sie nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt.

b) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $x = \frac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_a}$. Untersuchen Sie, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander verlaufen.

Teilaufgabe c

Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30\text{ m}$ breit.

Die Profillinie wird für $0 \leq x \leq 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt.

Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\text{ m}$ in der Realität.

c) (1)

Bestimmen Sie in Prozent die maximale Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen.

%

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x$, $b > 0, c > 0$ beschrieben werden (mit $b \approx 1{,}818$, $c \approx 1{,}049$).

c) (3)

Untersuchen Sie, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\text{ m}$ beträgt.

Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\text{ m}$ hat.

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