Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Die Abbildung stellt als Modell den Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dar. Die Züge können über die Brücke fahren, aber auch unter ihr hindurch.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der achsensymmetrische Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die Endpunkte dieser Randlinie entsprechen dabei den beiden Tiefpunkten des Graphen von $f$. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht in der Realität für einen Dezimeter.

a)

Bestimmen Sie durch Rechnung, wie hoch und wie lang die Brücke ist.

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$-Koordinate $2$.]

[5 Punkte]

b)

Es geht um den Punkt der oberen Randlinie, an dem das mittlere Bauteil in das rechte übergeht.

Prüfen Sie, ob dieser Punkt genau in der Mitte der Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und ihrem rechten Endpunkt liegt.

[3 Punkte]

Ja

Nein

c)

Bestimmen Sie die maximale Steigung, die beim Überqueren der Brücke bewältigt werden muss.

[2 Punkte]