Aufgabe B3 - Längen und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret-Sharing wird ein Geheimnis in einzelne Teilgeheimnisse zerlegt, die an unterschiedliche Personen verteilt werden, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies kann zum Beispiel bei einem geheimen Code für einen Tresor sinnvoll sein, den nicht eine einzelne Person kennen soll, sondern der nur von mehreren Personen zusammen rekonstruiert werden kann.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen etwa geometrisch umsetzen. Dabei können die Mitarbeitenden, die über die erforderlichen Teilgeheimnisse verfügen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das aus diesen Eingaben geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll im Weiteren gelten, dass der zu bestimmende geheime Code stets dreistellig ist.

Teilaufgabe b)

Der geheime Code eines weiteren Unternehmens besteht aus den ersten drei Ziffern der ungerundeten Dezimaldarstellung des Volumens einer quadratischen Pyramide. Die quadratische Grundfläche dieser Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q: -3x_1 + 4x_3 = 9$. Die Geschäftsführerin kennt die Koordinaten der Pyramidenspitze, nämlich $(1{,}5 \mid 3{,}5 \mid 6{,}5)$. Jede/r der Mitarbeitenden kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten genau eines Eckpunkts der Grundfläche.

Die Geschäftsführerin und drei Mitarbeitende geben ihre Teilgeheimnisse $(1 \mid 1 \mid 3)$, $(1 \mid 6 \mid 3)$, $(5 \mid 1 \mid 6)$ und $(1{,}5 \mid 3{,}5 \mid 6{,}5)$ in das System ein.

Berechnen Sie den geheimen Code. [5 Punkte]

Teilaufgabe c)

Bei einem anderen Unternehmen besteht der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$.

Als Teilgeheimnisse kennen zwei Mitarbeitende mit $I(4 \mid 3 \mid 2)$ bzw. $J(8 \mid 6 \mid -1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Endpunkte der Basis $\overline{IJ}$. Ein dritter eingeweihter Mitarbeiter kennt mit $K(6 \mid 5 \mid 1)$ die Koordinaten der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code. [2 Punkte]

[Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707.]

Der Punkt $L(6 \mid 4 \mid 0)$ entsteht durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $IJ$ [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]. Ein anderer Mitarbeitender kann mit den Koordinaten von $L$ zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.

Einem weiteren Mitarbeitenden sollen die Koordinaten eines Punktes $P$ mitgeteilt werden, der ebenso wie $K$ und $L$ mit $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJP$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus $I$, $J$ und $P$ soll sich auf die oben beschriebene Weise der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

(3)(i)

Beschreiben Sie, wo geeignete Punkte liegen. [2 Punkte]

(3)(ii)

Aus Sicherheitsgründen sollen sich die Koordinaten von $P$ von denen der Punkte $K$ und $L$ unterscheiden. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $P$. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Koordinaten von $P$ dürfen auch nicht ganzzahlig sein.]