Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $x = 1$ die einzige Nullstelle der Funktion $f$ darstellt. [1 Punkt]

a) (2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{-x}$. [2 Punkte]

a) (3)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Betrachtet werden die Funktion $t$ mit $t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3},\ x \in \mathbb{R}$, sowie der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

b) (1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt. [4 Punkte]

b) (2)

Zwischen den Schnittpunkten der Tangente aus b) (1) mit den beiden Koordinatenachsen verläuft eine Strecke. Berechnen Sie deren Länge. [3 Punkte]

Teilaufgabe c)

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$-Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$. Die $y$-Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grau gefärbte Fläche in Abbildung 3).

$Q_u(u \mid f(u)),\ 0 < u < 2$, ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$-Achse, $g$, $p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_u$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse hat. [2 Punkte]

c) (3)

Untersuchen Sie, um wie viel Prozent sich der Wert aus (2) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_u(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird. [5 Punkte]

%

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau eine Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Eine mit vier Nachkommastellen angegebene näherungsweise Gleichung für $t_R$ ist $$y = x - 0{,}3824.$$ Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_R$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. [4 Punkte]

Teilaufgabe e)

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a$, die gegeben ist durch $$h_a(x) = 10 \cdot (x - a) \cdot e^{-x},\ x \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R}.$$ Ohne Nachweis kann verwendet werden: $$h_a''(x) = 10 \cdot (x - a - 2) \cdot e^{-x}.$$ Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a$.

e) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes $W_a$. [Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich.] [4 Punkte]

e) (2)

$t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a$. Eine Gleichung für $t_a$ ist $$y = -10 \cdot e^{-a-2} \cdot x + 10 \cdot (a + 4) \cdot e^{-a-2}.$$ Für $a \neq -4$ begrenzt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Leiten Sie einen Term für den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks her. [Mögliche Lösung: $A_D(a) = 5 \cdot (a + 4)^2 \cdot e^{-a-2}$] [4 Punkte]

e) (3)

Ermitteln Sie einen Wert von $a$, für den die Dreiecksfläche die Größe $10\text{ FE}$ hat. [2 Punkte]