Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Firmen geben viel Geld für Online-Werbung aus und schalten oft eine Anzeige bei einer Suchmaschine. Sie erscheint passend zu der Suchanfrage einer Nutzerin oder eines Nutzers. Wer die Anzeige anklickt, gelangt zur Webseite des Unternehmens.

Betrachtet werden ausschließlich die Aufrufe der Unternehmenswebseite, die durch eine Anzeige bei einem Suchmaschinenanbieter zustande kommen. Zur Vereinfachung soll jede Person die Anzeige nur ein einziges Mal sehen.

Eine Anzeige erscheint $n$-mal. Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der daraus resultierenden Webseitenaufrufe an. Als Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt ist.

Firma A hat bei einem Suchmaschinenanbieter eine Anzeige geschaltet, die innerhalb eines Monats 800-mal eingeblendet wurde. Dabei sei $X$ binomialverteilt mit $p=0{,}2$.

Nach Angaben des Suchmaschinenanbieters können die Anzeigen nun besser auf die Zielgruppe zugeschnitten werden. Durchschnittlich soll jetzt bei mehr als $20\,\%$ der eingeblendeten Anzeigen ein Webseitenaufruf erfolgen. Wegen dieser verbesserten Qualität plant der Suchmaschinenanbieter eine Preiserhöhung.

Firma A möchte diese Aussage überprüfen und setzt als Nullhypothese $H_0$ an: „Die Wahrscheinlichkeit eines Webseitenaufrufs beträgt höchstens $20\,\%$.“

c) (1)

Begründen Sie, warum Firma A diese Nullhypothese wählt.

(2)

Firma A möchte die Hypothese anhand von $400$ eingeblendeten Anzeigen prüfen.

Ermitteln Sie die Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau $2{,}5\,\%$.

Webseitenaufrufe erfolgen.

Bei einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ gilt hier die Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird verworfen, sobald mindestens $94$ Webseitenaufrufe erfolgen.

Nun sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit für einen Webseitenaufruf über die Anzeige sei tatsächlich auf $25\,\%$ gestiegen.

(3)

Bestimmen Sie für diese Annahme die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang.

(4)

Firma A erwägt, die Nullhypothese $H_0$ stattdessen mit einer geänderten Stichprobe von $50$ eingeblendeten Anzeigen zu überprüfen. Zum Signifikanzniveau $5\,\%$ lautet die Entscheidungsregel dann: „Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens $16$ Webseitenaufrufe erfolgen.“

Stellen Sie in der nachstehenden Abbildung die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art für die veränderte Stichprobe grafisch dar.

Beurteilen Sie, ob die Änderung des Stichprobenumfangs für den Suchmaschinenanbieter sinnvoll ist.