Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im nachfolgenden Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Wirklichkeit für einen Meter.

Zwei der Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs sind $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die nachfolgend kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an, die zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören. [1 Punkt]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an. [5 Punkte]

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich anhand der Koordinaten bestimmen.]

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Größen aller Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks $B_1B_2C$. [3 Punkte]

°

°

c)

Eine Kamera ist nördlich des Obelisken und oberhalb von ihm angebracht. Im Modell liegt sie im Punkt $K(0|5|15)$.

Untersuchen Sie, ob die Kamera von der Pyramidenspitze weniger weit entfernt ist als von der nächstgelegenen Kante der Grundfläche der Pyramide. [3 Punkte]

m

m

Der Abstand zur Spitze ist geringer als zur Kante:

Ja

Nein