Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung: Sachzusammenhang Hormonkonzentration

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Konzentration im Blut mit der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Blutkonzentration sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \le x \le 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10000x + 208)\cdot e^{-0,1x-5,7} + 7, \quad x \in \mathbb{R},$$

genutzt. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ gehört zur Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot(t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}, \quad t \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}, a \ge 1$$

modelliert. Dabei ist $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ bedeutet 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ zu sehen.

Ohne Beweis darf benutzt werden: $h_a'(t) = -10a\cdot(-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie den Funktionswert $f(3)$ und interpretieren Sie ihn im Kontext der Aufgabe.

a) (2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration größer als $80\text{ pg/ml}$ ist.

Von ca. Jahren bis ca. Jahren

a) (3)

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Tageshöchstkonzentration zwischen dem 20. und dem 40. Lebensjahr.

a) (4)

Ermitteln Sie, bei welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach dem Modell ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an.

[Zur Kontrolle: $x_{\max} \approx 10{,}6$.]

a) (5)

Bestimmen Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration im Modell am stärksten sinkt.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass Null- und Extremstellen nicht vom Parameter $a$ abhängen.

b) (2)

Die globalen Extremstellen von $h_a$ sind identisch mit den lokalen Extremstellen im Intervall $[0;8]$. [Ein Nachweis ist nicht nötig.]

Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen aller Funktionen $h_a$ mit $a \ge 1$ und interpretieren Sie diese im Kontext. Geben Sie die Extremstellen dabei als Uhrzeiten in Stunden und Minuten an.

b) (3)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration um 2:00 Uhr ihr Maximum erreicht.