Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im nachfolgenden Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Wirklichkeit für einen Meter.

Zwei der Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs sind $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die nachfolgend kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

d)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$.

Ermitteln Sie die Koordinatenform einer Gleichung der Ebene $E$. [4 Punkte]

e)

Bei Sonnenstand genau im Süden verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}$, $h \in \mathbb{R}$, $h > 0$. Der Parameter $h$ hängt dabei von der Jahreszeit ab. Der Schattenpunkt der Pyramidenspitze liegt nur dann auf dem Boden, wenn die Sonne nicht zu hoch steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar $g_h$ mit $g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$, $h \in \mathbb{R}$, $h > 0$.

(1)

Ermitteln Sie, für welche $h$-Werte man den Schattenpunkt der Spitze auf dem Boden sehen kann. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Ausdehnung der Plattform bleibt unberücksichtigt.]

(2)

Ermitteln Sie die von $h$ abhängigen Koordinaten eines Punktes $S_h$, an dem der Schatten der Spitze auf der Plattform erscheint. [2 Punkte]

[Hinweis: Eine Einschränkung für $h$, etwa aus (1), braucht nicht beachtet zu werden.]

(3)

Am 22. September 2021 dauern Tag und Nacht gleich lang. Den ganzen Tag über bewegt sich der Schattenpunkt der Spitze geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur $x_1$-Achse.

Zur Mittagszeit steht die Sonne an diesem Tag genau im Süden und befindet sich unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr.

Ermitteln Sie den Wert von $h$, bei dem die Sonne unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr steht, und geben Sie eine Parametergleichung der Geraden an, auf der sich der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 bewegt. [3 + 1 Punkte]