Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (Kolleg) (2021)

Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$ eine Funktion $f_k$ gegeben.

Teilaufgabe a

a) (2)

Es gibt mehrere Werte von $k$ , für die die Funktion $f_k$ an der Stelle $4$ den Wert $8$ annimmt. Bestimmen Sie diese Werte von $k$ .

a) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_k$ und die Art der Extrempunkte in Abhängigkeit von $k$ .

a) (4)

Untersuchen Sie rechnerisch, wie sich die Steigung $m_k$ der Tangente an den Graphen von $f_k$ im Wendepunkt verändert, wenn der Wert von $k$ verdoppelt wird.

Teilaufgabe d

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(x) = f_1(x) \cdot e^{-x},\quad x \in \mathbb{R},$

dargestellt.

Für jede reelle Zahl $u$ mit $u > 0$ und $u \neq 3$ ist durch die Punkte $P(0 \mid 0)$ , $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$ gegeben.

d) (1)

Zeichnen Sie das Dreieck $PQ_{1{,}5}R_{1{,}5}$ in die Abbildung 4 ein.

d) (2)

Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ gilt:

$A(u) = \left(\frac{1}{2}u^4 - 3u^3 + \frac{9}{2}u^2\right)e^{-u}.$

d) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von $u$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Die in der folgenden Abbildung 1 dargestellten Graphen I, II und III gehören jeweils zu einem der Werte k = 0,5, k = 1 und k = 1,5. Entscheiden Sie, welcher Wert zu welchem Graphen gehört.

Lösung: Graph I: k = 0,5; Graph II: k = 1; Graph III: k = 1,5

a) (2) Es gibt mehrere Werte von k, für die die Funktion f_k an der Stelle 4 den Wert 8 annimmt. Bestimmen Sie diese Werte von k.

Lösung: $k = \frac{8}{9}$ / $k = 2$

a) (3) Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f_k und die Art der Extrempunkte in Abhängigkeit von k.

Lösung: Hochpunkt $H_k(k \mid 4k^2)$ , Tiefpunkt $T_k(3k \mid 0)$

a) (4) Untersuchen Sie rechnerisch, wie sich die Steigung m_k der Tangente an den Graphen von f_k im Wendepunkt verändert, wenn der Wert von k verdoppelt wird.

Lösung: Wird der Wert von $k$ verdoppelt, so verdoppelt sich auch die Steigung $m_k$ .

d) (1) Zeichnen Sie das Dreieck PQ_(1,5)R_(1,5) in die Abbildung 4 ein.

Lösung: Das rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte $P(0 \mid 0)$ , $Q_{1{,}5}(1{,}5 \mid 0)$ auf der $x$ -Achse und $R_{1{,}5}(1{,}5 \mid g(1{,}5))$ auf dem Graphen von $g$ .

d) (2) Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt A(u) des Dreiecks PQ_uR_u gilt: A(u) = (1/2·u^4 - 3·u^3 + 9/2·u^2)·e^(-u).

Lösung: $A(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot g(u) = \left(\frac{1}{2}u^4 - 3u^3 + \frac{9}{2}u^2\right)e^{-u}$

d) (3) Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von u, für den der Flächeninhalt des Dreiecks PQ_uR_u maximal ist.

Lösung: $u = 1$

d) (3) Maximalstelle u (Zahlenwert):

Lösung: 1

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