Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie sie Abbildung 2 zeigt, nennt man Trägerkonstruktion. Ihre obere Randlinie ist in Abbildung 2 schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstelle $x_n$ der Funktion.

[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist $x_n \approx 22{,}44$.]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß der vertikale Abstand zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen maximal ist.

b)

(1) Ermitteln Sie, an welcher Stelle die obere Randlinie am stärksten ansteigt und an welcher Stelle sie am stärksten abfällt.

(2) Prüfen Sie, ob die obere Randlinie an irgendeiner Stelle steiler als $45^\circ$ ansteigt oder abfällt.

c)

(1) Die Strebe $S_1$ aus Abbildung 3 trifft in $3\text{ cm}$ Höhe auf die obere Randlinie.

Ermitteln Sie die Stelle dieser Verbindung.

(2) Eine weitere Strebe $S_2$ verläuft entlang einer Geraden, die im Punkt $P_1(6\mid 0)$ auf die $x$-Achse trifft. Diese Gerade trifft in einem Punkt $P_2$ senkrecht auf die obere Randlinie, wenn der Abstand zwischen $P_1$ und $P_2$ minimal ist.

Leiten Sie einen Term zur Berechnung des Abstands zwischen $P_1$ und $P_2$ her.

Ermitteln Sie den Punkt $P_2$, in dem die Strebe $S_2$ senkrecht auf die obere Randlinie trifft.

d)

In Abbildung 2 ist auf der rechten Seite der Brücke oberhalb der oberen Randlinie eine Rampe zu erkennen, die den Übergang zum Ufer ermöglicht.

Im mathematischen Modell entspricht diese Rampe einer Tangente an die obere Randlinie an der Stelle $x = 17$.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Tangente.

e)

Zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen verläuft ein weiterer Bogen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29),\; x \in \mathbb{R}$, beschreibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens.

Bestimmen Sie im Intervall $[2; 19]$ den minimalen und den maximalen vertikalen Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem durch $g$ beschriebenen Bogen.