Aufgabe B5 (a, e, f) - Funktionen und ihre Eigens… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist modellhaft der Längsschnitt einer aus drei Teilen bestehenden Holzbrücke für eine Spielzeugeisenbahn dargestellt. Die Züge haben die Möglichkeit, über die Brücke zu fahren oder unter ihr hindurchzufahren.

Den oberen Rand des Brückenlängsschnitts beschreibt der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$.

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ stellen dabei die Endpunkte dieser Randlinie dar. Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; in der Realität entspricht eine Längeneinheit einem Dezimeter.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}, a > 0$ beschrieben werden.

a)

Begründen Sie, dass die obere Randlinie symmetrisch bezüglich der y-Achse verläuft. (1 Punkt)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x) = 0{,}8 - a\cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 0$ beschrieben werden.

e)

Die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils ist in der Abbildung mit $s$ gekennzeichnet.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, bei dem sich $s = 0{,}1\text{ dm}$ ergibt. (3 Punkte)

f)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, weshalb beliebig große Werte von $a$ zur Beschreibung der unteren Randlinie nicht geeignet sind. (2 Punkte)