Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Außerdem sei die Funktion $t$ definiert durch

$$t(x) = -10 \cdot e^{-3} \cdot x + 50 \cdot e^{-3}, \quad x \in \mathbb{R},$$ Ferner sei $W(3 \mid f(3))$ der Wendepunkt des Graphen von $f$. Im Intervall $[1;5]$ schließen der Graph von $f$, die Tangente $t$ und die $x$-Achse eine Fläche $F$ ein (siehe Abbildung 2).

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $f$ ausschließlich bei $x=1$ eine Nullstelle besitzt.

a) (2)

Zeigen Sie: $f'(x) = 10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$.

a) (3)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen. [Kontrolllösung: An der Stelle $x=2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor.]

a) (4)

Ermitteln Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f(x) < 0{,}1$.

Teilaufgabe b)

$P_u(u \mid f(u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$. $P_u$ legt zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_u(u \mid 0)$ das Dreieck $NF_uP_u$ fest.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $NF_uP_u$ für den Fall ein, dass $P_u$ der Hochpunkt des Graphen von $f$ ist.

b) (2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus b) (1).

b) (3)

Untersuchen Sie, ob $P_u$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $NF_uP_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ hat.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x) = -10\cdot e^{-3}\cdot x + 50\cdot e^{-3}$, $x \in \mathbb{R}$, und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$.

c) (1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Punkt $W$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt.

c) (2)

Die Schnittpunkte der in c) (1) gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck fest. Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks.

c) (3)

Im Intervall $[1;5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in c) (1) gegebene Tangente zusammen mit der $x$-Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2). Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$.

Teilaufgabe d)

Die Gerade mit der Gleichung $y=x$ wird als „1. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$, in dem die Tangente $t_R$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.

d) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_R$. [Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_R$ als Gleichung $y = x - 0{,}3823$.]

d) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $y=-x$ wird als „2. Winkelhalbierende“ bezeichnet. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_R$ mit der 2. Winkelhalbierenden.

d) (3)

Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_R$ von der 1. Winkelhalbierenden hat.