Aufgabe B3 (a-b) - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen bestimmt werden können.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das daraus geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll der geheime Code im Folgenden stets aus drei Ziffern bestehen.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt:

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ von $g$ und $H$.

Für $a \in \mathbb{R}$ sei die Gerade $h_a$ gegeben durch:

$$h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$$

Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ und $h_a$.

Teilaufgabe a)

(1)

Man gibt die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $C$ in das System ein.

Berechnen Sie, wie der geheime Code lautet. [5 Punkte]

(2)

Der Punkt $S$ befindet sich nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$. Eine vierte mitarbeitende Person bekommt den Punkt $D(12|12|5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ ist in der Ebene $H$ enthalten.

Begründen Sie, weshalb das System den geheimen Code dennoch nicht ermitteln kann, wenn die Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $D$ eingegeben werden. [2 Punkte]

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes $E$, der sich von $C$ und $S$ unterscheidet, sodass sich der geheime Code aus den eingegebenen Koordinaten der Punkte $A$, $B$ und $E$ ermitteln lässt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b)

Für ein $a \in \mathbb{R}$ ist die Gerade $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$, gegeben. Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ aus a) und der Geraden $h_a$.

(1)

Bestimmen Sie $a \in \mathbb{R}$ so, dass $S$ der Schnittpunkt von $g$ und $h_a$ ist. [2 Punkte]

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende erhalten als Teilgeheimnis jeweils die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden $h_4$, der nicht mit $S$ übereinstimmt.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der sich von $(-7|8|-1)$ und $S$ unterscheidet und als Teilgeheimnis infrage kommt. [1 Punkt]