Aufgabe B2 (a) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die gegeben ist durch $$f(x) = -\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört eine auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $(12 \mid 2160)$ einen Hochpunkt des Graphen von $f$ darstellt und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$-Achse liegt.

a) (2)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$, die die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ miteinander verbindet.

$g(x) =$

Zeichnen Sie in die Abbildung eine zu $g$ parallele Gerade ein, die im Bereich $0 \le x \le 8$ genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von $f$ besitzt.

a) (3)

Die nachstehende Abbildung entspricht unverändert der Abbildung auf Seite 1:

Für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ legen die Punkte $O(0 \mid 0)$, $B(b \mid 0)$ und $C(b \mid f(b))$ ein Dreieck $OBC$ fest.

Ermitteln Sie den Wert von $b$, bei dem das Dreieck $OBC$ den größten Flächeninhalt hat, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht untersucht werden.]

$b \approx$

$A_{\text{max}} \approx$

FE